Görelilik Kuramının Matematiksel Temelleri

Timur Karaçay

Başkent Üniversitesi, Ankara

tkaracay@baskent.edu.tr

Abstract

The aim of this short talk is not to give the rigorous mathematical foundations of relativity, since the time constraint prevents us to do so. Instead, we shall try to explain the differences between the mathematical tools, namely the geometries of Newtonian mechanics and relativity for interested audience who are presumably non-experts in the field. In classical mechanics, the one of Galileo and Newton, which deals with forces and movements, the law of gravitation is formulated simply. From it one can advance in two directions, which are the two types of modern physics which are opposed to classical physics: on the one hand relativity (special then general), on the other hand, quantum physics and statistical physics, which are two parent theories closely related together. The mathematical foundations of special relativity was constructed by different researchers: Poincar´e, Lorentz, Minkowski. But the physical interpratation of this beautiful geometry was made by Einstein. General relativity was discovered by Einstein and Hilbert; it includes special relativity and gravitation which it interprets as not being a force but the effect of the curvature of space-time. General relativity and quantum theory are among the greatest intellectual achievements of the 20th century. Each of them has profoundly altered the conceptual fabric that underlies our understanding of the physical world. Furthermore, each has been successful in describing the physical phenomena in its own domain to an astonishing degree of accuracy. And yet, they are strikingly different pictures of physical reality. Needless to say that none of the substance of the material in these talk is new; the only reason for reading them is if an individual reader finds the explanations here easier to understand than those elsewhere.

Özet

Zaman elvermeyeceği için, bu konuşmada göreliliğin sağlam matematiksel temellerini vermek amacı güdülemeyecek, onun yerine Newton Mekaniğinde ve görelilikte matematiksel araç olarak kullanılan geometriler arasındaki fark, konuya yabancı olanlar için açıklanacaktır. Galileo ve Newton’un kurdukları klâsik mekanik kuvvet ve hareket arasındaki ilişkiyi inceler ve gravitasyonu basit bir matematik formülle açıklar. Bu noktadan sonra, fiziğin iki yöne ayrıldığını görüyoruz: Bir tarafta Görelilik Kuramı (özel ve genel), öteki tarafta Kuantum Fiziği ve İstatistiksel Fizik. Bunlar birbirleriyle sıkı ilişkileri olması gereken iki ana kuramdır. Özel Görelilik Kuramının matematiksel dayanağı Poincaré, Lorentz ve Minkowski tarafından verilmiş, bu güzel geometrinin fiziksel yorumu Einstein tarafından yapılmıştır. Genel Görelilik Kuramı ise Einstein ve Hilbert tarafından kurulmuştur. Özel Göreliliği içeren Genel Görelilik Kuramı gravitasyonu bir kuvvet olarak değil, uzayzamanın eğriliği olarak açıklar. Evreni kavrayışımızı kökünden değiştiren Görelilik ve kuantum fizikleri 20.yüzyılın en büyük bilimsel bulguları arasında sayılmakla kalmaz, her biri kendi alanındaki fiziksel fenomenleri şaşırtıcı duyarlıkla belirlerler, ama bir o kadar da birbirlerinden farklıdırlar. Elbette, bu konuşmada geçen kavramların ve onların ele alınış yöntemlerinin yeni olmadığını söylemeye gerek yoktur. Umarız ki, okurlarımız, başka yerlerden de öğrenebilecekleri kavramları, burada daha kolay anlayacaklardır.

Giriş

Albert Einstein Özel Görelilik Kuramını 1905 yılında ortaya koydu. Aradan geçen yüz yılın en önemli fizik bulgusu (ya da bulgularından birisi) sayıldığı için, Görelilik Kuramının ortaya çıkışının yüzüncü yılı Fizik Yılı ilan edildi. Dünyanın bir çok ülkesinde üniversitelerde Görelilik Kuramını anlatan dersler, konferanslar düzenlendi. İstanbul Kültür Üniversitesi’nin öncülüğünde üçüncüsü yapılan “Mantık, Matematik ve Felsefe Sempozyumu” nun bu yılki konusu, iyi bir seçimle, Görelilik Kuramına ayrıldı.

Bu konuşmada, Görelilik Kuramı’nın Matematiksel Temellerini açıklamam istendi. Analiz ve Lineer Cebir’i iyi bilenler için, bir sömestrelik ders olan göreliliğin matematiksel temellerini bu konuşma metnine sığdıramayacağım açıktır. O nedenle, görelilikte, matematiğin nerede nasıl bir araç olarak kullanıldığını ortaya koymaya çalışacağım. Yüz yıldır her yönüyle incelenen bu konuda bilimsel açıdan bir yenilik getiremeyeceğim apaçıktır. Başka bir deyişle, konuşmam, konuyu bilenlere hiçbir katkıda bulunamaz. Gene de, konuyu benden az bilen gençlere bir yol gösterebilmeyi umuyorum. Hemen belirtmekte yarar vardır. Bu gün, matematikçiler, Görelilik Kuramı’nı Einstein’in ortaya koyduğu yöntemle incelemiyorlar. Aradan geçen yüz yılda göreliliği daha iyi açıklayan matematiksel yapılar ortaya kondu. Bunların bir kısmı geometrik modeller kullanır, bir kısmı da cebirsel modeller kullanır. Daha iyi matematiksel modellerin ortaya çıkmış olması, Einstein’in yaptığı işin önemini azaltmaz. Olsa olsa, Einstein’in yüz yıl önce kurduğu görkemli tiyatroda matematikçiler iyi oyunlar sergiliyor diyebiliriz.

Genel Görelilik Kuramı gravitasyon kuramıdır. Bu kuramın önemini anlayabilmek için, tarih boyunca graviyasyonu insanoğlunun nasıl algıladığını bilmek gerekir. O nedenle, Birinci Bölümde gravitasyon kavramının evrimiyle ilgili çok kısa bir tarihçe verdikten sonra Galilei ve Newton’un ortaya koydukları Klâsik Mekaniği, görelilik açısından ele alacağız. İkinci Bölümde Özel Göreliliği, Üçüncü Bölümde de Genel Görelilik Kuramını açıklamaya çalışacağız.

1. Bölüm

A. Antik Çağda Evren Modelleri

Antik Çağda Evren Modellerini bilim tarihi açısından incelemek yerine, bizim asıl amacımız olan Görelilik Kuramına giden yoldaki işaretler olarak ele alacağız. Dolayısıyla, geçmişte kurgulanan önemli evren modellerine ve hareket yasalarına, kronolojik sırada, göz atmakla yetineceğiz.

Babilliler

Fırat ve Dicle ırmakları arasında kalan zengin topraklarda yaşayan insanlar, mezopotamya diye anılan bu verimli yerlerde, tarih öncesi uygarlıkların en önemlilerinden birisini kurmuşlardır. Her uygarlık gök cisimlerinin hareketini; yani evreni merak etmiş, onu gözlemiş ve o günün olanakları içinde açıklamalar getirmiştir. Babillilere göre, dünya büyük bir (düzlemsel) dairedir, çevresi büyük ırmaklarla çevrilidir, bu ırmakların ötesinde aşılamaz dağlar vardır. Hiçbir insan o ırmağı geçemez. Dağlar, çok sağlam bir maddeden yapılan gök kubbeyi bir kemer gibi tutar. Kuzey dağları boyunca uzanan ve dış dünyaya açılan büyük bir tünel vardır. Bu tünelin, bir ucu doğu, öteki ucu batı dağlarında olan iki büyük kapısı vardır. Güneş hergün doğu kapısından içeri girer, batı kapısından çıkar. Geceleri kuzey tünelde dinlenir.

Babilliler birinci dereceden denklemleri çözebiliyordu. M.Ö. 1900-1600 yıllarına ait olduğu belirlenen bir kil tabletinde a ² + b² = c² eşitliğini sağlayan sayılar görülmüştür. Bu da gösteriyor ki, gemetrik ispatı bilmeseler bile, Pisagor bağıntısını biliyorlardı. Bu tabletlerin sayılar kuramıyla ilgili en eski tabletler olduğu sanılıyor. Babilliler 60 tabanlı sayma sistemini kullanıyorlardı. Bu gün kullandığımız zaman sistemi oradan gelir. Bir günü 24 saate, bir saati 60 dakikaya ve bir dakikayı 60 saniyeye bölmüşlerdir. Çemberin 360 derecelik merkez açı ile ölçülmesi de onlardan gelmektedir.

Mısırlılar

Eski Mısırlılar dünyayı, kuzey-güney doğrultusu daha uzun olan dikdörtgensel bir düzlem, gök kubbeyi yerden yükselen dört sütun üzerinde duran bir çatı gibi algıladılar. Güney tarafta gök yüzünde büyük bir nehir vardır, “tanrı güneş” her gün bu nehirde gezintiye çıkar.

Mısırlılar’ın gök cisimleriyle ve matematikle ilgilenmeleri pratik bir nedene bağlıdır. Her yıl Nil nehri taşar, ekili alanlarda sınırları yokeder. Taşma zamanını doğru bilmek ve taşkından sonra tarlaların yokolan sınırlarını yeniden belirlemek için gerçekçi bir takvime, yeterli matematiğe gereksemeleri vardı. Mısır takvimi bir yılı 365 gün olarak almış ve bunu değiştirmeden yüzyıllar boyunca kullanmıştır. Her yıl oluşan ¼ günlük artıklar toplanınca 730 yılda, mevsimler 6 ay geriye kayar. Başka bir deyişle, kış başlarken takvim yaz başlangıcını göstermektedir. 1460 yıl sonra, takvim gerçek mevsimlere yeniden uyum sağlar. Bu uzun sürede, Mısırlılar’ın takvimde düzeltme yapmayı düşünmemiş olmaları şaşırtıcıdır.

Mısırlılar, zamanı göstermek için su saatini icat ettiler. M.Ö.1450 yıllarına ait bir su saati Berlin Müzesinde sergilenmektedir.

Hint

Eski Hint uygarlığında, evren 4.32x10⁹ yıllık periyotlarla doğar, gelişir, çöker ve ölür. Bu oluşum, tıpkı bir farenin doğumu, yaşaması ve ölümü gibidir ve onun kadar doğaldır.

Çin

Çinlilerin M.Ö.1300 yıllarına kadar geriye giden astronomi gözlemleri vardır. Güneş tutulmalarını ve 1054 yılında patlayan ve iki yıl süren supernovayı gözleyebilmişlerdir.

Eski Yunan

Mitoloji

Eski yunan kozmolojisi kaçınılmaz olarak mitoloji ile bağlantılıdır. Ona göre dünya yukarıdan hava ile, çevresinden su ile ve onun altında da cehennem ile sarılıdır. Bir süre sonra denizcilerin ticaret amacıyla yaptıkları gezilerde Eski Mısır ve Babil uygarlıklarının kalıntılarıyla tanıştılar. Böylece, mitler yerlerini zamanla daha gerçekçi ve mantıklı görüşlere bırakmaya başladı.

Anaxagoras (499 B.C. - 428 B.C.) Ionia doğumlu Anaxagoras, güneşin tanrı olmadığını, ayın güneşten gelen ışınları yansıttığını savunduğu için mahküm edilmiştir. Anaxagoras’ın mantıksal çıkarımlarla ulaştığı başka ilginç görüşleri vardır. Örneğin, meteorların maddesel yapısının dünyanınki ile aynı olduğunu görmüş, sonra şu sonuca varmıştır: Meteorlar dünyanın dönmesi esnasında dünyadan kopan parçalardır, uzayda hızları azalınca tekrar dünyaya düşmektedirler. Bu günkü bilgilerimizle bunun yanlışlığını biliyoruz. Ama Anaxagoras’ın dünyanın yuvarlaklığı, dönmesi ve merkezkaç kuvvet gibi kavramlara o günlerde sahip olması şaşırtıcıdır.

Milet’li Tales (M.Ö. 585) Babillilerin gözlem sonuçlarını inceleyerek güneş tutulmasını öngörmüştür. Ama o, dünyanın okyanusta yüzdüğü, depremlerin dalgalar nedeniyle oluştuğu görüşündedir.

Democritus, sonsuz ve ölümsüz evren kavramını, Parmenides ise küresel ve hareketsiz dünya görüşünü ortaya sürmüşlerdir.

Pisagor (M.Ö. 580) Kendi adıyla anılan felsefe okulunu kurmuştur. Matematik, astronomi ve müzikte önemli bulgular yapan ve inanç ağırlıklı bu okul, bigileri gizli tuttuğu için Pisagor’un ürünleri tam olarak bilinmemektedir. Buna rağmen, çok ileri bir kozmoloji geliştirdiler. Dünyanın mükemmel bir küre olduğunu, bu şekildeki on tane gök cisminin de dünya ile birlikte merkezdeki ateş etrafında birer çember yörüngede döndüğünü, ateşin insanlar tarafından görünemez olduğunu savunmuştur. Bu görüş önemlidir, çünkü, gök cisimlerinin bir merkez etrafında döndüğü ilk kez ortaya atılmış oldu. Bu evren modeli, ufak değişikliklerle 2000 yıl boyunca ayakta kalabilmiştir.

Samoslu Aristarchus (310 B.C. - 230 B.C.) Aristarchus geometrik yolla güneşin dünyadan çok daha büyük olduğunu kanıtladı. Sonra, böyle büyük bir cismin küçücük dünyanın etrafında dönemeyeceği, onu dünya etrafında dönüyor gibi görünmesinin nedenini, dünyanın kendi ekseni etrafında dönmesine bağladı. Böylece, Aristarchus, 17. yüzyılda Copernicus’un ulaşacağı heliocentric evren modelinin başlıca nedenini ortaya koymuş oluyordu. Yazık ki bu görüşü Aristo red edecek, dolayısıyla 1800 yıllık bir zaman kaybına yol açacaktır.

Aristo (M.Ö. 384 - 322) Aristo, kendi döneminde önem taşıyan hemen her konuda görüş bildirmiş büyük bir düşünürdür. Mantık biliminin kurucusudur. Ortaya sürdüğü her düşünce, bir mantık süzgecinden geçmiştir. O zamanın bilgileri ve koşulları altında ortaya koyduğu fikirlerinin birçoğu, elbette, bu gün yanlıştır. Ama o, 2300 yıldır düşünceleriyle aramızdadır.

Örneğin, Aristo, “Dünya bir anda ortaya çıkmadı, o her zaman vardı, ebediyen değişmeden varolacaktır” der. Bu görüş, kilisenin “yaratılış” dogmasına karşıdır. O nedenle kilise önce Aristo’yu dışlamak istemiş, ama onun yüzyıllardır yayılmış fikirlerini beyinlerden silemeyeceğini anlamıştır. Bu nedenle, kilise adamları, Aristo’nun düşünceleriyle kilisenin görüşlerini bağdaştırmak için yüzyıllar süren zorlu bir çabanın içine girmiştir. Sonunda kilise, onun tümdengelimli mantık sistemini ustaca kullanmanın yolunu bulmuştur. Bilindiği gibi, p Þ q çıkarımında p nin doğruluğu ya da yanlışlığı mantığın sorunu değildir. Mantık, p önermesi geçerli ise, q önermesinin de geçerli olduğunu söyler. Başka bir deyişle, mantık doğru düşünmenin aletidir, doğruyu bulmanın değil! Örneğin, p yerine “Dünya 7 günde yoktan yaratıldı” önermesini koyarsanız, p önermesi, Aristo’nun yukarıda anılan düşüncesine ve modern fiziğin “Hiçbir şey yoktan var olmaz” ilkesine aykırı düşer. Ama Aristo mantığı p önermesini geçerli sayıp ondan sonuçlar çıkarmaya devam eder. Böylece, kilise, p öncülü (premise) yerine kendi görüşlerini koyarak istediği q vargısını elde edebilmiştir. Bu oluşumda Aristo’yu kusurlu göremeyiz. O mantık denilen güzel bir alet yarattı; kilise o aleti kötü kullandı ve ortaçağ karanlığını yaratmayı başardı. Bu nedenle, 17. yüzyıldan sonra modern bilimi kuranlardan bazıları, Aristo’yu kusurlu görmüşler ve tümdengelimin bilimsel bir yöntem olmadığını savunmuşlardır. Ama, matematik tümdengelimlidir, onu yok sayarsak ortada bilim kalmaz.

Aristo’nun Hareket Yasaları

• Cisimler ağırlıklarıyla orantılı bir ivmeyle yere düşerler.
• Bir cismin hareket etmesi için ona sürekli bir kuvvet etki etmelidir.
• F kuvveti kütlesi m olan cismi t zamanda d uzaklığa götürüyorsa, m/2 kütleli cismi t/2 zamanda aynı d uzaklığa götürür.
• F kuvveti kütlesi m olan cismi t zamanda d uzaklığa götürüyorsa, m/2 kütleli cismi t zamanda 2d uzaklığa götürür.

Aristoya göre, cismin hareket edebilmesi için bir kuvvet ona sürekli etkimelidir. Etki edebilmesi için de, kuvvetin cisme dokunması gerekir. Sabit bir kütleye sabit bir kuvvet sürekli etki halindeyse cisim sabit bir hızla hareket eder. Şimdi bunların yanlış olduğunu biliyoruz. Çünkü, sabit bir kuvvetin etkisindeki cisim ivme kazanır, dolayısıyla hızı değişir. Ama Aristo’nun hareket yasaları 1800 yıl boyunca varlığını sürdürdü.

Aristo’nun hareket yasalarına ileride tekrar döneceğiz. Şimdilik, onun evren modelinden sözetmekle yetinelim. Önce, dünya kendi ekseni çevresinde dönüyor diyen Aristarchus’un görüşüne karşı oluş nedenini söyleyeceğiz. Dünya kendi ekseni etrafında dönüyor olsaydı,

1. Dikey yukarı atılan bir taş aynı yere düşmezdi,
2. Dünya etrafında kuvvetli bir rüzgâr oluşurdu.

Heliocentrik (gün-merkezli) modelin doğuşunu 18 yüzyıl geciktiren bu yanlış düşüncenin, o günkü bilgilere göre kuvvetli bir mantıksal çıkarıma dayandığını görüyoruz.

Aristo’nun evren modeline gelince, 55 gök cisminin dikkatle gözlenmiş hareketlerini içeren karmaşık bir yapıdır. Bu modele göre, gök cisimleri dünya etrafındaki küreler üzerinde dolanırlar. Aristo’nun evren modelinin heliocentrik modele gidişi geciktirmiş olma gibi kötü bir ünü vardır. Ama, model gerçek bir bilimsel çalışmanın ürünüdür. Yıldızlar dikkatle gözlenmiş, hareketlerine ait veriler kaydedilmiştir. Bu verileri kullanarak, Aristo, gök cisimlerinin gelecekteki hareketlerini tahmin edebilir duruma gelmiştir. Örneğin, Mars gezegeninin bir yıl sonraki konumunu belirleyebiliyordu.

Eratosthenes (M.Ö. 276 - 197) Şimdi Libya içinde olan Cyrene’de doğdu, İskenderiye’de yaşadı. Dünyanın çevresini, bu gün de geçerliği olan ilginç bir geometrik yöntemle ölçtü. Dünyanın bir küre olduğunu, Mısırdaki Aswan kenti ile İskenderiye kentlerinin bir büyük çember üzerinde (diyelim ki, aynı meridyen üzerinde) bulunduğunu ve bu çember boyunca aralarındaki uzaklığın 5000 stadia olduğunu biliyordu. Bir çubuğun Aswan’daki gölgesi ile İskenderiye’deki gölgesi arasında yaklaşık 7.2 derece olduğunu ölçtü. Bundan sonrası basit bir orantıyla bulunur. 7.2 derecelik merkez açıyı gören yay uzunluğu 5000 stadia ise, 360 derecelik merkez açıyı gören tam çember yayının uzunluğu ne olur?

Bunlardan çıkan başka önemli bir sonuç var. Kilisenin direnmesine rağmen, dünyanın yuvarlak olduğu (gizliden) genel kabul görmüştür. Gerçekten yüzyıllar sonra Columbus’un dünyayı dolanmak için (batıya giderek doğuya ulaşmak istiyordu) yola çıkışı bunun iyi bir delilidir. Columbus, düz dünyanın ucuna ulaşıp aşağı düşmekten hiç korkmadı. Onun yanlışı, büyük olasılıkla, dünya çevresini olduğundan çok küçük tahmin etmesidir. İyi ki, yarı yolda hiç ummadığı Amerika kıtası vardı. Yoksa Columbus’un tayfaları açlık ve susuzluktan kırılabilirdi.

Batlamyus (Ptolemy (M.S. 100 - 170) Mısırda doğdu, İskenderiye’de yaşadı. Büyük bir astronom ve geometricidir. 127-141 yılları arasında astronomik gözlemler yaptı. Bulduğu verileri Almagest adlı kitapta topladı. Bu kitap halen astronomide güncel sayılacak değere sahiptir. Aristo’nun evren modelini geliştirerek Mars’ın uydusunun hareketlerini epicycle adı verilen sistemle açıkladı. Onun evren modeli 1543 yılında Copernicus’un modeli ortaya çıkana kadar yaşayacaktır.

Roma İmparatorluğu

Roma imparatorluğunun, takvim düzenlemeleri dışında, kozmolojiye yaptığı hiçbir katkı görülmemektedir.

Ortaçağ ve Kilise

Aristo’nun kilise görüşleriyle uyuşmayan görüşleri çoktur. Örneğin, 1277 yılında Paris piskoposu Aristo’nun 219 doktrinini listeleyip öğretilmesini ve tartışılmasını yasaklamıştı. Bütün bunlara rağmen, kilise Aristo’nun parlak düşünceleriyle başedememiş, zamanla onların bir kısmını kilisenin resmi görüşü haline getirmiştir.

B. Modern Zamanlarda Evren Modelleri

Nicholas Copernicus (1473 - 1543 )

Polonya’da doğdu. Krakov Üniversitesinde matematik, astronomi ve felsefe okudu Sonra İtalya’ya gitti. Bologno Üniversitesinde liberal sanatlar, Ferrara’da tıp, Padua’da hukuk eğitimi gördü. Kilise yasaları üzerine doktora derecesi aldı ve Fraenberg kilisesinde göreve başladı. Kilise kulesinden çıplak gözle yaptığı uzun gözlemlerden sonra, yıldızların dünya merkezli değil, güneş merkezli dairesel yörüngeler çizdiği sonucuna vardı. Böylece, Pisagor’un ortaya koyduğu yer-merkezli (geocentric) evren modeli, tahtını 1800 yıl sonra, gün-merkezli (heliocentric) evren modeline bıraktı. Copernicus ilk sonuçlarını 1514 yılında müsvette olarak elden ele dolaştırdı. De Revolutionibus Orbium Coelestium adını verdiği eseri 1543 yılında yayınlandı. Derler ki, 1542 yılında felç geçirip yatağa düşen Copernicus, ölmeden biraz önce kitabının ilk kopyasını görebildi.

Copernicus, yer merkezli evren modelini yıkınca dünya güllük gülüstanlık olmadı. 1616 yılında Papa Pius V dünyanın hareketsiz durduğunu, günmerkezli sistemin kâfir işi olduğunu açıkladı ve Copernicus’un kitabını yasakladı. Kitap 1822 yılına kadar kara listede kaldı.

Pisagor’dan beri yerine oturmuş ve kimseyi rahatsız ediyor görünmeyen yermerkezli evren modeli ortadan kalkınca, bir yandan kilisenin baskısı, öte yandan yeni modelin belirsizliği (geleceği konusundaki endişeler), ister istemez bilimle uğraşanları çekimser kılıyordu. Bu çekimserliğin yanında, yeni modelin çekiciliği de kuşku götürmezdi. Kepler, Galilei ve Newton bu çekiciliğe kendisini kaptıran ve modern bilimin oluşumuna büyük katkılarda bulunan adların başında gelir.

Johannes Kepler (1571 - 1630)

Tübingen’de okurken Copernicus’un evren modeliyle tanıştı. 1596 yılında yazdığı Mysterium Cosmographicum adlı eserinde onu savundu. 1609 yılında yayınladığı Astronomia Nova’da ilk iki yasayı, 1619 yılında yayınladığı Harmonices Mundi’de üçüncü yasasını yayınladı. Copernicus’un devrim yaratan evren modeline son geometrik biçimi veren Kepler’in gezegenlerin hareketlerini geometrik olarak açıklayan üç yasası şöyledir:

1. Bir gezegenin yörüngesi, bir odağında güneşin yer aldığı bir elipstir.

2. Gezegeni güneşe birleştiren doğru eşit zamanlarda eşit alanlar süpürür.

3. Gezegenin periyodunun karesi güneşe olan ortalama uzaklığının küpü ile orantılıdır.

Galileo Galilei (1564 -1642)

Galilei, Aristo’dan beri sorulan bir soruyu tersine çevirdi: “Bir cismi düzgün doğrusal hareket ettiren şey nedir?” sorusu yerine “Bir cismi düzgün doğrusal hareketten alıkoyan şey nedir?” sorusunu sordu. Yaptığı deneylerle Aristo’nun hareket yasalarını yıktı ve modern çağın en önemli fizik yasasını ortaya koydu:

Ağırlıklarına bağlı olmaksızın, bütün cisimler yere aynı hızla düşerler.

Oysa, Aristo ağır cisimlerin daha hızlı düşeceğini söylemişti. Böylece, Aristo imparatorluğu yıkım sürecine girdi. Bu yıkım elbette acısız olamazdı. Copernicus’un evren modelini savunduğu için, Galilei, engizisyon mahkemesi tarafından sorgulandı ve yeni evren modelini savunmaktan vazgeçmesi koşuluyla yaşam boyu ev hapsine mahkûm edildi. Ev hapsinden kurtulamadan yaşamı sona erdi.

Galilei Göreliliği

Çok konforlu (sarsıntısız) bir otobüsün orta sıralarında gözleriniz kapalı gidiyorsunuz. Yol, otobüste hiçbir sarsıntı yaratmayacak pürüzsüz bir asfalt kaplamaya sahip olsun. Şoför sabit bir hızla doğrusal bir hatta (ivmesiz) giderken, otobüsün hareketini algılayamazsınız. Ama, dönemeçlerde otobüsün dönüşünü, tepeüstlerine çıkışını ve vadilere inişini algılarsınız. Benzer olarak, şoför fren yaparak hızı azaltırken ya da gaza basarak hızı artırırken hareketi algılarsınız. Çünkü, bu durumlarda otobüs ivmeli hareket halindedir. Şimdi bunu başka bir biçimde ifade edelim.

Sakin (hiç dalgasız) bir gölde düzgün doğrusal hareket eden (ivmesiz hareket) bir gemide penceresiz bir odadaki bir gözlemci ile, gölün kıyısında penceresiz bir evde oturan başka bir gözlemci düşünelim. Her iki gözlemcimiz istedikleri mekanik deneyleri yapabilecek aletlere (sarkaç, top, ip, cetvel vb.) sahip olsunlar. Şimdi şu üç soruya yanıt arayalım:

1. Gölün kıyısındaki gözlemci, yapacağı mekanik deneylerle göldeki geminin, gölün kıyısına göre, hareket ettiğini belirleyebilir mi?

2. Gemideki gözlemci, geminin gölün kıyısına göre, hareket ettiğini belirleyebilir mi?

3. İki gözlemcinin yapacağı mekanik benzer deneylerin sonuçları farklı mıdır?

Bu soruların her üçünün de yanıtları “hayır” olacaktır. Gölün kıyısında her yanı kapalı evde oturan gözlemcinin gölde hareket eden gemiyi algılaması olanaksızdır. Gemi düzgün doğrusal hareket ettiği için, gemideki gözlemcimiz de kamarasında geminin hareketini algılayamaz. Başka bir deyişle, her iki gözlemcinin yapacağı mekanik deneyler, geminin hareketine ait bir algılama yapamaz. Kapalı kamarada yapılan bütün mekanik deneyler, gölün kıyısındaki evde yapılacak benzer deneylerle aynı sonucu verir.

Dolayısıyla, geminin içinde yapılan deneylerle, kıyıdaki evde yapılan deneylerin mukayesesi de geminin hareketine dair bir ipucu veremez. Geminin kıyıya göre hareket ettiğini belirleyebilmek için gemideki gözlemci kamaradan çıkıp kıyıyı gözlemelidir. Benzer şekilde, kıyıdaki gözlemci de gemiyi gözlemelidir.

Bu söylediklerimiz, geminin düzgün doğrusal hareketi (ivmesiz hareket) için geçerlidir. Gemi hızını artırsa, yavaşlatsa, sağa ya da sola dönse kapalı kamaradaki yolcu o hareketleri hissedecektir. Mekanik deneyler de bunu algılayabilecektir. Başka bir deyişle, gemi ivmeli bir hareket yaptığında gemideki gözlemci (ya da mekanik deneyler) bu hareketi anında algılayabilir.

Ama, bu durumda, kıyıdaki gözlemci bu hareketleri algılayamaz. Gemi ivmeli hareket yaparken, gemideki deney sonuçları ile kıyıdaki deney sonuçları birbirinden farklı olacaktır.

Galilei, bu gözleminin sonucunu şu görelilik postülatı ile veriyor:

Birbirlerine göre sabit hız ve doğrultuda hareket eden iki gözlemci bütün mekanik deneylerde aynı sonucu elde ederler.

Konuşlanma Sistemleri (Konaç Dizgeleri - Frames of Reference)

Şimdi başka bir gözlem yapalım. Uzayda nesneleri birer nokta gibi düşünelim. Analitik geometriden bildiğimiz gibi, üç boyutlu uzayda nesneleri (noktaları) (x,y,z) ile, xy-düzlemindeki nesneleri (x,y) ile, Ox-ekseni üzerindeki nesneleri x ile ve O(0,0) başlangıç noktasını O ile gösterelim. Simetri ekseni Oz-ekseni olan bir burgu yüzeyi (helicoid) üzerinde ve burgu yüzeyinin eksene en uzak noktalarının oluşturduğu eğri üzerinde sabit bir hızla yukarı çıkan bir böcek varolsun. A,B,C,D gözlemcileri böceğin burgu üzerindeki hareketini gözlüyor. Varsayalım ki A gözlemcisi üç boyutu algılıyor, B gözlemcisi yalnızca xy-düzlemindeki cisimleri algılıyor, C gözlemcisi yalnızca Ox-ekseni üzerindeki cisimleri algılıyor, D gözlemcisi ise yalnızca O(0,0) noktasındaki cisimleri algılıyor. Bu dört gözlemcimiz, gözlem sonuçlarını rapor ederlerse, şunları yazacaklardır:

A gözlemcisi: Böcek sabit hızla burgunun dış kenar çizgisini takip ederek yukarı doğru tırmanıyor.

B gözlemcisi: Böcek xy-düzleminde bir daire üzerinde sabit bir hızla dönüyor.

C gözlemcisi: Böcek, Ox-ekseni üzerinde [-1,+1] aralığında, bir uçtan ötekine sabit bir hızla gidip geliyor.

D gözlemcisi: Böcek O noktasında hareketsiz duruyor.

Görüldüğü gibi, aynı hareketi, dört gözlemci çok farklı biçimlerde algılamaktadır. Bunun nedeni, gözlemcilerin algılama yetenekleridir. Bunu, matematik diliyle söylersek, gözlemcilerin kullandıkları koordinat sistemleri algılamalarını etkilemektedir. Lise bilgilerimize göre, koordinat sistemi, uzayda, bir cismin (noktanın) konumunu belirtir. Ama, hareket söz konusu olunca işin içine zaman da girecektir. Bir cismin hareketini belirleyebilmek için onun ne zaman, nerede olduğunu bilebilmemiz gerekir. Nerede olduğunu söyleyebilmek için bir koordinat sistemine gerekseme vardır. Koordinat sisteminde hareketli bir cismin hangi zamanda nerede bulunduğunu söyleyebilmek için de bir saat'e gereksememiz vardır. Burada saat sözcüğü, zamanı ölçen bir boyut gibi düşünülebilir. Aslında, bu görelilik kuramını doğuran zor bir kavramdır. Ama, şimdilik, işe zamanı da bir boyut olarak katarak şu tanımı yapabiliriz:

Bir konuşlanma sistemi (konaç dizgesi – frame of reference), bir başvuru (reference) noktasına göre bir nesnenin ne zaman, nerede bulunduğunu belirleyen araçtır.

Bu tanım, aslında (x,y,z) ile gösterdiğimiz konumları, t zamanı göstermek üzere, (t,x,y,z) biçiminde göstermek demektir. Tabii, üç boyut yerine iki ya da bir boyutlu hareketleri de düşünebiliriz. O zaman (t,x,y,z) yerine (t,x,y) ya da (t,x) alabiliriz. Bu tür konuşlanma sistemlerine Galilei koordinat sistemi ya da kısaca Galilei sistemi diyeceğiz.

Mutlak Uzay, Mutlak Zaman

Asıl konumuz olan Görelilik Kuramı’nın neden doğduğunu açıklayabilmek için, Newton’un hareket yasalarının gerisinde yatan düşünceyi biraz açmakta yarar vardır. Newton’a göre bütün hareketlerin içinde oluştuğu bir “mutlak uzay” vardır, o bize bir olayın “nerede” olduğunu belirtir. Mutlak uzay hareketsizdir, daima olduğu gibi kalır, kendi dışındaki her şeyden bağımsızdır. Mutlak uzayda yer belirleyebilmemiz için “mutlak uzaklık” olması gerektiği sonucu çıkar. Ayrıca, uzaydan bağımsız bir “mutlak zaman” vardır, o da bize olayın “ne zaman” olduğunu belirtir.

Newton Mekaniğinin geometrik aracı olan Galilei koordinat sisteminde uzay ve zaman mutlaktır ve birbirlerinden ayrı olarak düşünülürler. Orada hareketi doğru, düzlem ya da 3-boyutlu uzayda düşünebiliriz. Hareket denklemlerinde zamanı uzayın diğer koordinatlarından tamamen bağımsız bir parametre (değişken) olarak düşünürüz. Bu nedenle, hareketin yörüngesini y=f(x), x=(x₁,x₂,x₃), x_i=x_i(t), (i=1,2,3) gibi bir fonksiyonla belirleriz. Bu durumda dy/dt hareketin hızını, d²y/dt² ise ivmesini verir. Tersine olarak, ivmesi bilinen ve belli bir noktadan (başlangıç koşulu) geçen düzgün hareketli bir cismin yörüngesini belirleyebiliriz. Görüldüğü gibi, Galilei sisteminde (Newton mekaniğinde) hareketi incelemek için 4-boyutlu uzayı bir araç olarak kullanmamız gerekmiyor. Uzayı belirleyen koordinatlarda mutlak zamanı parametre olarak kullanmak yeterli oluyor. Ama, görelilik kuramında işimize yarayacak görsel bir açıklama getirmek istersek, şöyle bir düzenek düşünebiliriz. Cismin düzlemde hareket ettiğini varsayalım. Ox, Oy ve Ot doğruları başlangıcı O noktasında olan bir kartezyen koordinat sistemi oluştursun. Bu sistem, bir Galilei uzay ve zaman sistemidir. xy-düzleminde hareket eden bir cismin t=0 anında O(0,0) dan başladığını ve t=T anında düzlemde bir P(x,y) noktasına geldiğini varsayalım. xy-düzlemini kendisine paralel olarak Ot-ekseni boyunca T kadar kaydırırsak, P nin yeni konumunun 3-boyutlu uzayda P₁(T,x,y) olduğunu görebiliriz. Buradan anlaşıldığı gibi, Galilei sisteminde (Newton mekaniğinde) uzayı ve zamanı birbirinden ayrı tutabiliyoruz. Bu ayrımı belirtmek için, uzay ve zaman sözcükleri arasına (ve) koyarak uzay ve zaman biçiminde yazacağız. Görelilik kuramında ise mutlak uzay ve mutlak zaman olmadığını göreceğiz. O nedenle, uzayı ve zamanı birbirlerinden ayıramayacağız. İkisi arasında ileride açıklayacağımız farkı belirtmek için, görelilikte kullandığımız sistemi uzayzaman biçiminde bitişik yazacağız.

Buraya kadar söylediklerimizi özetleyelim. Cismin uzayda (doğru, düzlem ya da 3-boyutlu olabilir) yerini belirtecek bir koordinat sistemine ek olarak zamanı belirtecek bir boyut (saat) eklediğimizde bir konuşlanma sistemi (konaç sistemi, referans sistemi, frame of reference) elde ederiz.

Olay

Uzayzamanda bir andaki oluşuma olay diyeceğiz. Örneğin, bir topun atılması, bir camın kırılması, bir yıldızın patlaması gibi süreci olmayan (oluş süresi sıfır olan) anlık hareketlerdir. O nedenle, uzayzamanda bir olayı (t,x) biçiminde bir nokta ile göstereceğiz. Bu gösterimde t zamanı, x uzayı belirtecektir. Zaman gösteren t değişkeni 1-boyutludur, uzayı gösteren x değişkeni 3-boyutludur. Dolayısıyla 4-boyutlu bir uzayda çalışacağız. Ama algılamayı ve çizenekleri kolaylaştırmak için çoğunlukla konuşlanma sisteminde uzayı gösteren x değişkeninin boyutunu 1 ya da 2 olarak alabiliriz.

Uzaklık (metrik)

Hareketi incelemek için uzaklık kavramı gereklidir. Öklit uzayında A(x₁,y₁,z₁) ile B(x₂,y₂,z₂) noktaları arasındaki uzaklık Pisagor bağıntısından elde edilen

|AB|² = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁) ² + (z₂-z₁) ² (1)

bağıntısı ile verilir. Öklit Metriği dediğimiz bu fonksiyon zamandan bağımsızdır ve Öklit Geometrisine uyumludur. Örneğin, negatif değer almaz, üçgen eşitsizliğini sağlar, A ile B arasındaki bütün yollar arasında en kısa olanıdır.

Yakın çevremizde ışık hızından çok çok küçük hareketleri (yavaş hareketleri) incelerken Öklit Geometrisi ve Öklit Metriği yeterlidir. Ama hızı ışık hızına yaklaşan hareketler için Öklit Geometrisi yerine başka geometrileri kullanmak gerekmektedir. Bu geometrilerin kendilerine özgü metrikleri (uzaklıkları) vardır. Bunlardan birisi olan Minkowski Metriği’ni ileride ele alacağız.

Hız

Şimdi gemiyi tekrar düşünelim. Geminin sabit varsaydığımız hızı ancak bir başvuru sistemine göre belirtilebilir. Farklı başvuru noktaları için, farklı hızlar ortaya çıkar. Örneğin, geminin içerdeki gözlemciye göre hızı 0 iken, kıyıdaki eve göre 0 ‘dan farklıdır. Aynı geminin, sahil yolunda hızla giden bir spor otomobile göre hızı, yukarıdakilerin her ikisinden de farklı olacaktır. Bundan çok önemli bir fiziksel sonuç çıkar:

Hız mutlak değildir.

Bu sonuç Einstein’in Görelilik Kuramı’na giden yoldaki önemli kilometre taşlarından birisidir.

Isaac Newton (1643-1727)

Newton hareket yasaları 17.yüzyılda ortaya kondu. Newton Mekaniği diye adlandırılan bilim dalına esas olan Newton hareket yasaları, bilimde atılmış en büyük adımlardan biridir. 18. ve 19. yüzyıllarda Newton Mekaniği sayesinde muazzam bir teknoloji yaratıldı, gök cisimlerinin hareketleri belirlendi. Bu gün bile Newton Mekaniği yok sayılırsa, elimizde 20. yüzyıl teknolojisi yok olur. O, insanın doğa olaylarını ve evreni anlayabileceği inancının yayılmasına neden olan kişilerden biridir. O, kuşkusuz, fiziksel bilimlere yön vermiş ve günümüze kadar süren 300 yıllık teknolojinin yaratılmasına neden olmuştur. Bu oluşumu yaratan ve bu gün kendi adıyla anılan hareket yasaları şöyle ifade edilir:

1. Hareketli bir cisim dışarıdan bir kuvvetle etkilenmezse düzgün doğrusal hareketini ilelebet sürdürür.

2. Kütlesi m olan bir cisme uygulanan F kuvveti ile a ivmesi arasında F=ma bağıntısı vardır.

3. Her etkiye karşı ona eşit bir tepki vardır.

Newton, gezegenlerin hareketleri için Kepler’in kurduğu geometrik modelin ve Galilei’nin gravitasyon ile ilgili deneylerinin matematiksel formülünü çıkardı. Ondan sonra, gezegenlerin neden güneş etrafında elips yörüngeler çizdiğini, ağır ve hafif cisimlerin neden aynı ivmeyle yere düştüğünü matematiksel yöntemle gösterir olduk. Gelgit olayları, dünya ekseninin salınımı, gravitasyonun cismin ağırlığından bağımsız oluşu vb. olayları açıklayan matematiksel bağıntılar onunla ortaya çıktı.

M ile m iki cismin kütleleri, r aralarındaki uzaklık, G gravitasyon katsayısı olmak üzere, iki cisim arasındaki F çekim kuvveti

F = G mM / r ²

bağıntısıyla verilir. Euler, Newton gravitasyon yasasının analitik biçimini verdikten sonra Lagrange, Hamilton, Jacobi, Clairaut, Laplace ve Poisson gibi ünlü matematikçiler, gravitasyon yasasının matematilsel temellerini sağlamlaştıran teoremleri kurdular. Bu arada potansiyel gibi yeni kavramları da ortaya çıkardılar. 20.yüzyıl başlayana dek, hareketle ilgili her şeyin Newton’un hareket yasalarıyla hesaplanabileceği inancı yerleşik kalacaktır. Newton Mekaniği ya da klâsik mekanik denilen ve teknikte muazzam bir uygulama alanı bulan bu yasaların uygulanamadığı durumlar şunlardır:

1. 10^-8 cm den küçük uzaklıklar.

2. Gravitasyonu güneşe göre 10⁸ kat daha büyük olan cisimler.

3. Hızı 10⁸ m/sn den büyük olan cisimler.

Newton Mekaniği’nin geçerli olmadığı yerlerde Kuantum Mekaniği ve Einstein Mekaniği kullanılır. Kuantum Mekaniği atomaltı parçacıkların hareketlerini belirlemek için, Einstein Mekaniği ise hızı ışık hızına yakın büyük gök cisimlerinin hareketlerini açıklamak için kullanılır. Elbette bu üç mekaniği içine alan bir mekanik kuram yaratılabileceği inancını her fizikçi taşır.

Eylemsizlik Kütlesi, Gravitasyon Kütlesi

Newton’un ikinci yasasını F = m_ia ile, iki cisim arasındaki çekim kuvvetini belirten denklemi de biçiminde yazalım. Bu iki denklemdeki m_i ve m_g nicelikleri fizik tarihi bakımından önemlidir.

Birincideki m_i niceliğini, cismin F kuvveti etkisinde kalarak a ivmesiyle hareket etmesine karşı koyuşun (etki-tepki) bir ölçüsü olarak görebiliriz. m_i sabit tutulduğunda, a ivmesinin artması için F kuvveti artmalıdır. Benzer şekilde, a sabit tutulduğunda, m_i niceliği büyüdükçe F kuvveti artar. Bu özelik nedeniyle F = m_ia eşitliğindeki m_i niceliğine eylemsizlik kütlesi (inertial mass) denir.

İkinci eşitlikteki m_g niceliği ise F_grav gravitasyon kuvveti ile doğru orantılıdır; m_g büyüdükçe F_grav artar. Bu niteliği nedeniyle, bu eşitlikteki m_g niceliğine gravitasyon kütlesi (gravitational mass) denir.

Newton Mekaniğinde, bu iki kütle, cismin farklı özelliklerini belirtir ve kuramsal açıdan birbirlerine eşit olmak zorunda değildir. Galilei’den sonra Huygens, Newton, Bessel ve daha başkaları m_i ile m_g arasındaki farkı ortaya çıkaracak ölçümler yaptılar. Ama bir cismin eylemsizlik kütlesinin gravitasyon kütlesinden farkını ölçemediler, hesaplayamadılar, 20.yüzyıl başlarında, Baron von Eötvös tahta ve platin gibi farklı maddelerle, 10⁹ da 1 duyarlılıkla yaptığı ölçümler sonunda m_i ile m_g arasında bir fark bulamadı. 1950/60 yıllarında R.Dicke tarafından bu ölçümler 10¹¹ de 1 duyarlılıkla tekrarlandı, ama bir fark görülemedi.

Pratikte hesaplanamayan, ama klâsik mekanikte kuramsal olarak var görünen m_i ile m_g arasındaki farkı, Newton, doğanın bir niteliği olarak kabul etmiştir. Ama, Einstein, bu farkın bulunamayışını, görelilik kuramına giden yoldaki kilometre taşlarından bir başkası olarak yorumlayacaktır.

Galilei Yasasının Matematiksel Kanıtı

Şimdi M kütlesi olarak dünyayı alalım ve m kütlesinin F_grav gravitasyonu etkisiyle dünya merkezine doğru, a ivmesiyle çekildiğini varsayalım. Bu durumda,

eşitliğini kurabiliriz. Şimdi ortadaki eşitlikte m ‘leri sadeleştirirsek a = MG/r² eşitliği çıkar. Bu da gösteriyor ki, m kütlesinin dünya (M) tarafından çekilmesi esnasında doğan a ivmesi çekilen m kütlesine bağlı değildir. Bu sonuç, Galilei’nin gözlemle ulaştığı

“Bütün cisimler aynı ivmeyle yere düşerler.”

diyen yasasının matematiksel kanıtıdır.

Eylemsiz Konuşlanma Sistemleri (Inertial Frames)

Fizik derslerinde öğrendiklerimizin aksine, iki yüz yıl boyunca bilimin ve teknolojinin temeli olan Newton 'un eylemsizlik yasası mutlak doğru değildir. Bu yasanın doğruluğu, hangi konuşlanma sistemine göre konuştuğumuza bağlıdır. Buna örnekler verebiliriz:

· Koordinat sisteminin merkezi ile cismin kütle merkezi çakışık iseler, cisim nasıl hareket ederse etsin, sözkonusu koordinat sistemine göre hareketsizdir.

· Yerküre çevresinde hızla dönen bir uzay gemisindeki kumanda masası, gemiye göre, hareketsizdir; ama o gravitasyonun ve gemiyi yörüngede döndüren kuvvetin etkisi altındadır ve gemi dışındaki bir gözlemciye göre hareketlidir.

· Bir arabanın boş bagajına konulmuş bir top düşünelim. Araba hızlanırken, top bagajda geriye doğru, araba fren yaparak yavaşlarken ileriye doğru yuvarlanır. Oysa bagajdaki topa etki eden bir kuvvet yoktur.

O halde, ne zaman Newton'un eylemsizlik yasasından sözediyorsak, o yasanın geçerli olduğu bir konuşlanma sistemine göre konuşuyoruz demektir. Bu tür konuşlanma sistemlerine Eylemsiz Konuşlanma Sistemleri diyeceğiz. Başka bir deyişle, bir Eylemsiz Konuşlanma Sistemi ivmesiz bir koordinat sistemidir. Dolayısıyla, bir eylemsiz koordinat sistemi, bir referans noktasına göre sabittir ya da düzgün doğrusal hareket eder.

Böyle sistemlerin var olup olmadıkları düşünülebilir. Şimdilik, şunu söylemekle yetineceğiz. Bir eylemsiz konuşlanma sistemi varsa, sonsuz tane eylemsiz konuşlanma sistemi kurulabilir. Gerçekten, birinci sisteme göre düzgün doğrusal hareket eden her konuşlanma sistemi eylemsiz bir sistemdir.

Eylemli Konuşlanma Sistemleri

İçinde eylemsizlik yasasının geçerli olmadığı konuşlanma sistemlerine eylemli konuşlanma sistemleri (Noninertial Frames) denilir. Bu sistemler, eylemsiz sistemlere göre bir ivmeye sahip sistemlerdir.

Galilei Görelilik İlkesi

K ve K' iki eylemsiz konuşlanma sistemi olsun ve K' sistemi K ya göre sabit  v hızıyla  Ox doğrultusunda hareket etsin. Bir P noktasının bu iki sisteme göre konaçları (koordinatları), sırasıyla, (x,t) ve (x',t') olsun. Bu konaçlar arasında

x' = x - vt  ,  t' = t

bağıntısı vardır. Burada, her iki sistemde zaman koordinatlarının (saatlerin) aynı olduğunu varsayıyoruz (t = t'). K sistemi içindeki bir gözlemciye göre bir t anında bir cismin yatay eksendeki konumu x = x' + vt dir. K' sistemi içindeki bir gözlemciye göre ise aynı t = t' anında cismin yatay eksendeki konumu x' dür. Yukarıdaki bağıntıdan

x = x' + vt  ,   t = t'

yazabiliriz. Galilei dönüşümü denilen bu bağıntıları kullanarak, cismin bir eylemsiz sistemdeki konumunu biliyorsak, öteki sistemdeki konumunu daima bulabiliriz.

Eylemsiz Sistemlerde Fizik Yasaları

Bu konuşma boyunca fizik yasaları, hareket yasaları ve mekanik yasaları deyimlerini eşanlamlı olarak kullanıyor olacağız. Eylemsiz sistemlerde fizik yasaları aynıdır. Daha açık söylemek gerekirse, birisi ötekine göre düzgün doğrusal hareket eden iki eylemsiz sistemin birisinde geçerli olan fizik kuralları diğerinde de aynen geçerlidir. Dolayısıyla, bir eylemsiz sistemin ötekine üstünlüğü yoktur. Bu özelik, fizik yasaları için istediğimiz eylemsiz konuşlanma sistemini seçebileceğimiz anlamına gelir.

Galilei dönüşümlerini kullanarak, K ve K’ sistemleri için hareketin yörüngesini (yol) ayrı ayrı yazabiliriz:

x = x(t) = x' + vt ve x' = x' (t) = x – vt

Her iki yolun t zamanına göre ikinci türevleri hareketin K ve K’ sistemleri içindeki ivmesini verecektir. Bunu yapınca d²x/dt² = d²x’/dt² çıkar. Demek ki, her iki sistemde ivmeler birbirlerine eşittir. Düzgün bir hareketi kendi ivmesi belirlediğine göre, K ve K’ sistemlerinde hareket yasaları aynıdır. Dolayısıyla, Galilei dönüşümlerinden, Galilei Görelilik İlkesi denilen şu önemli sonuç çıkar:

"Fizik yasaları Galilei dönüşümü altında değişmezler."

Bunu başka biçimde de ifade edebiliriz:

“Fizik yasaları bütün eylemsiz sistemlerde aynıdır.”

Hızların Toplanması Kuralı: Galilei Görelilik İlkesi şu kuralı doğurur: v hızıyla giden bir arabadan u hızıyla bir cisim ileriye doğru atılırsa, cismin hızı arabadaki gözlemciye göre u, yerdeki gözlemciye göre u+v dir. Arabadan daha hızlı giden bir motosikletin hızı w ise, motosikletteki gözlemciye göre cismin hızı (w–v)+u dur. Buna hızların toplanması kuralı diyoruz.

Eylemli (ivmeli) Sistemlerde Fizik Kuralları

Eylemli sistemlerde Newton'un ikinci hareket yasası geçersizdir.

Uzayda yerküre etrafında dönen bir uzay gemisini düşünelim. Gravitasyon gemiye ve gemi içindeki her şeye etki eder, ama gemi içindeki hiç bir cisim gemiye göre ivme kazanamaz. Bu duruma ağırlıksız ortam denir. Ağırlıksız ortam gravitasyonsuz ortam demek değildir. İşin aslına bakarsak, gravitasyonsuz olsa, uzay gemisi dünya etrafındaki yörüngesinde duramaz, uzaklaşırdı. Gerçekte olan şey şudur: Uzay gemisi ve içindeki her şey dünya merkezine doğru devamlı düşme halindedirler.

Fizik derslerinden anımsayacağınız gibi, (hayali) bir merkezkaç kuvvet uygulayarak eylemli sistemlerde de F = ma yasasını geçerli kılabiliriz. Merkezkaç gibi hayali kuvvetlere eylemsizlik kuvvetleri diyoruz. Eylemsizlik kuvvetleri, cisme ivme kazandırmaya çalışan kuvvet(ler)e karşı duran kuvvet(ler)dir.

Şimdilik, eylemsiz ve eylemli sistemlerde fizik yasalarının farklı uygulanacağını bilmemiz yetecektir. 

Newton hareket yasaları bir teknolojik uygarlık yaratmış olmakla beraber, ışık hızına yakın hızlarda hareket eden cisimlere uygulanamadığı ortaya çıkmaya başladı.

İkinci Bölüm

Talihsiz bir Adlandırma: Relativity

Bazen büyük bilimsel bulgulara, o buluşun anlamını saptıracak talihsiz adlar verilir. “Görelilik” de bunlardan biridir. “Her şey görelidir” deyince, Einstein’in büyük hayali çoğunlukla yanlış anlaşılıyor. Sanki ortada “doğru” bir şey yok, herkes kendi bakış açısını “doğru” imiş gibi ortaya sürmekte özgürdür gibisine yanlış bir izlenim doğuyor. Oysa Einstein, bunun tam tersini yaptı. O fizik kurallarının evrenselliğini, bakış açısına göre değişmezliğini gösterdi.

Önceki bölümde anlatıldığı gibi, görelilik kavramının doğuşu Einstein’dan çok öncedir. En azından Galilei’ye kadar geriye götürebiliriz. Newton, görelilik kavramını bilinçle kullanmış ve hareket yasalarını mutlak uzay ve mutlak zamana göre ifade etmiştir. Einstein’in özel görelilik kuramının Galilei ve Newton göreliliğinden farkı, uzayın ve zamanın mutlak olamayacağını söylemesidir. Matematiksel açıdan bakınca, Galilei dönüşümleri yerine Lorentz dönüşümünü kullanması ve çıkan sonuca yepyeni bir fiziksel yorum getirmesidir. Tabii, şimdi basitçe ifade ettiğimiz bu iş, o gün için hayal edilmesi zordu ve Einstein’in bu büyük hayali 20. yüzyıl başlarında fiziğe bakışımızı bütünüyle değiştiren büyük bir bilimsel bulgudur.

Konuya girmeden önce, kısaca söylemek gerekirse, Özel Görelilik kuramı, fizik yasalarının eylemsiz konuşlanma sistemlerinde aynı olduğunu söyler. Genel Görelilik Kuramı ise, bunu genelleştirir ve fizik yasalarının eylemli sistemlerde de aynı olduğunu söyler. Elbette, bu basit yargılar ortaya büyük fiziksel sonuçlar çıkardı. Bu ve bundan sonraki bölümde, o sonuçların bazısına değinebileceğiz.

Özel Görelilik Kuramı

Newton Mekaniği 200 yıldan fazla bir süre fiziksel bilimlerin harika bir aracı oldu. Ona dayalı bir bilim ve teknoloji çağı yaratıldı. Halen bu çağın harikulade nimetlerinden yararlanıyoruz. Ama fizikçiler daha 19.yüzyıla girilirken, Newton Mekaniği’nin bazı doğa olaylarını açıklamakta yetersiz kaldığını sezmeye başlamışlardı. Nitekim, 1884 yılında Lord Kelvin Baltimore konferanslarında Fizik üzerinde dolaşan 19.yy bulutları ‘ndan sözediyordu. Newton Mekaniği’nin açıklayamadığı doğa olaylarından bazılarını sıralayabiliriz:

1. Işığın bir dalga hareketiyle yayıldığı genel kabul görmüştü, ama o dalgayı taşıdığı varsayılan ve uzayı dolduran ortamın (ether) var olduğunun kabul edilmesi çelişki yaratıyordu (Michelson-Morley deneyi).

2. Maxwell’in Elektrik ve Magnetizma denklemleri Newton Mekaniğinin temeli olan mutlak uzay ve mutlak zaman kavramlarıyla çelişiyordu.

3. Newton hareket yasalarıyla Merkür gezegeninin yörüngesi çok büyük bir duyarlılıkla hesaplanabiliyordu. Ancak, gözlem sonuçlarıyla hesap sonuçları arasında beliren küçük ama rahatsız edici bir fark ortaya çıkıyor, ama nedeni açıklanamıyordu.

4. Çok düşük ısıdaki maddeler Newton yasalarına göre hareket etmiyordu.

5. Newton fiziğine göre, sabit ısıdaki bir ocağın sonsuz enerjisi olmalıydı.

Bu ve benzeri sorunların giderilebilmesi için fizikçiler çok uğraştılar, ama sonuç alamadılar. Sonuç çıkmamasını bu gün doğal karşılıyoruz, çünkü mutlak uzay ve mutlak zaman kavramlarına dayalı çözüm getirilemezdi. Başka bir deyişle, ortaya çıkan sorunların Newton Mekaniği ile çözülebilmesi olanaksızdı.

Çözüm yönünde ilk doğru adımı Lorentz attı. İkinci önemli adım ise, zamanın ünlü matematikçisi Poincare’den geldi. Bu ikisi, birbirlerinden bağımsız olarak, Görelilik Kuramı için gerekli bütün matematiksel araçları ortaya koymuşlardı. Ama onlar ortaya koydukları matematiksel formüllere fiziksel anlam veremediler.

Onları yorumlayıp, evrene bakışımızı değiştiren kuramı ortaya atan Albert Einstein oldu. 1905 yılında Özel Görelilik kuramını ortaya koydu. Bu kuramda Einstein, fizik yasalarının bütün eylemsiz sistemlerde aynı olduğunu gösterdi. Ama bu önemli sonuç onun için yeterli değildi. Fizik yasaları evrensel ise, eylemsiz sistemlerde olduğu gibi, eylemli sistemlerde de aynı olmalıydı. Bunun için gravitasyonu yaratan nedeni bulması gerekiyordu. Bunu bulması tam 10 yılını aldı. 1915 yılında da Genel Görelilik kuramını ortaya koydu. Bu iş, 1800 yıllık Aristo evren modelini 1543 yılında Copernicus’un yıkışından çok daha görkemli oldu.

Şimdi, Özel Görelilik Kuramı’nın zor olmayan matematiksel dayanaklarını ortaya koyabiliriz. Bunun için, öncelikle, görelilik kuramına giden yolu açan nedenleri ve onları açıklamakta kullanacağımız araçları anlamalıyız.

Maxwell Newton’a Karşı

James C. Maxwell (1831-1879)’den önce, Gauss, Ampere ve Faraday elektrik ve magnetizma konusunda epey ilerleme kaydetmişlerdi. Ama bu iki kuram birbirinden farklı iki konu olarak algılanıyordu. Maxwell, elektromagnetik dalgaların varlığını gördü ve bunların hızlarını buldu. Elektrik ve magnetizma arasındaki ilişkileri kuran Maxwell denklemleri elektrik ve Magnetizma kuramlarını bireştirdi. Elektromagnetik dalgaların ışık hızıyla yayıldığını, başka bir deyişle, ışığın elektromanyetik dalgalar halinde yayıldığını ortaya koydu. Bu hızın elektrik ve magnetizma alanlarından tamamen bağımsız bir sabit olduğunu belirledi. Böylece evrensel bir sabiti, ışık hızını, keşfetmiş oluyordu. [Çok duyarlı deneylerle, ışık hızı c=3x10⁸ m/sn (yaklaşık 300 000 km/sn) olarak ölçülmüştür.]

Maxwell denklemleri kendi başlarına çok önemlidirler, ama ondan daha önemlisi görelilik kuramının doğuşuna yol açmış olmalarıdır. Maxwell denklemleri fizikte çözülmesi gereken önemli bir sorun yarattı. Bu sorunun ortaya çıkması, 20. yüzyıl başlarında fizik yasalarına bakışımızı tümüyle değiştiren bir olgu oldu. Bilim tarihine baktığımızda görüyoruz ki, ortaya bir sorunun çıkması ve onun çözümü için uğraşılması, bilimsel sıçramaların nedeni olmuştur. Maxwell denklemleri de bunlardan birisidir.

Galilei’nin Görelilik İlkesi fizik yasalarının her eylemsiz sistemde aynı olduğunu söylüyor. Bunu ışık hızı için yorumlarsak, ışık hızının mutlak olamayacağı, gözlemcinin ve ışık kaynağının içinde bulundukları sistemlere göre değişeceği anlamına gelir. Yukarıda anılan Galilei dönüşümü uyarınca, yerdeki bir gözlemci, v hızıyla hareket eden bir kaynaktan çıkan ışığın hızını v+c olarak görmelidir (hızların toplamı ilkesi). Öte yandan, Maxwell ışık hızının her gözlemciye göre sabit ve sonlu bir değerde olduğunu söylüyor. O halde, Maxwell’e göre, bütün gözlemciler ışık hızını c olarak görecektir. Zaten deneyler de bunu gösteriyor. Eğer ışık hızı sonsuz olsaydı, Maxwell’in bulduğu sonuç Galilei’nin uzay ve zaman sistemi ile çelişmezdi. Ama, Maxwell ışık hızına denk olan elektromagnetik dalgaların hızının sonlu ve sabit olduğunu belirlemişti. Sorunun çözümü için fizikçiler işe koyuldu.

Ether denen şey!

1. Işık elektromagnetik dalgalar biçiminde yayılıyorsa, bu dalgaların oluştuğu bir ortam olmalıydı. En geçerli görünen görüş “ether” kuramıydı. Ses dalgalarının yayılabilmesi için hava, su vb. bir ortamın olması nasıl gerekiyorsa, ışık dalgalarının da boşlukta yayılabilmesi için bir ortama gereksinimi var olmalıydı. Bütün uzay boşluğunu doldurduğu varsayılan bu maddeye ether denildi.

2. Maxwell deneylerinin belirlediği ışık hızı ether'e göreli olarak belirleniyor olmalıydı. Gözlenen ışık hızı Galilei dönüşümü altında olması gerektiğinden farklı ise (ki bu çok küçük bir farktır), bunun nedeni, fizik kurallarının her eylemsiz sistemde aynı olmaması değil, gözlemcinin eylemsizlik konuşlanmasının ether'e göre hareket ediyor olmasıydı.

Öyleyse, her şeyden önce ether’in varlığını kanıtlamak gerekiyordu. Bilimsel gelişme sürecinde, yapılması gereken iş açık seçik ortaya çıkınca onu yapacak birileri daima ortaya çıkar. Şimdi onun öyküsüne geçebiliriz.

Beklentilerin aksine, boşlukta ether olmadığı, ışık hızının gözlemcinin hızına (onun bulunduğu eylemsiz sistemin hızına) bağlı olmadığı, her sistemden aynı hızda göründüğü kanıtlandı.

Ortaya oldukça ilginç bir durum çıkmıştı. Maxwell denklemlerine Galilei dönüşümü uygulanınca, ışık hızı bir eylemsiz sistemden ötekine değişiyordu. Ama Michelson & Morley deneyi, ışığın her eylemsiz sistemden aynı göründüğü sonucunu veriyor ve böylece Maxwell’in deney sonuçlarını doğruluyordu. Yani ışık, Galilei Görelilik İlkesine uymuyor, her eylemsiz sistemde değişmez (invariant) c değerini alıyordu.

Michelson ve Morley

1887 yılında Michelson ve Morley adlı iki amerikalı fizikçi, ether’in varlığını kanıtlamak için ilginç bir deney yaptılar. Deneye temel olan düşünce çok basitti. Bir ırmakta akıntıya karşı yüzmekle akıntı yönünde yüzmek arasındaki farkı düşününüz. Sabit u hızıyla yüzen bir cisim, hızı v olan akıntı yönünde giderse, sabit bir referans sistemine göre, hızı (u+v), akıntıya karşı giderse (u-v), akıntıya dikey yönde giderse Ö(u²+v²) olur.

Dünya, ethere göre -v hızıyla gidiyor ise, tersine olarak, ether, dünyaya göre v hızıyla gidiyor olacaktır. O halde, etheri v hızıyla akan bir ırmak gibi düşünebiliriz. Dolayısıyla, etherin akış doğrultusuna göre karşı yöne, aynı yöne ve dikey yöne gönderilecek ışık ışınlarının hızları farklı olmalıdır.

Şekil 2.1: Michelson-Morley Deneyi

.

Michelson ve Morley bu basit ama zekice düşünceden hareket ettiler. Her yöne kolay dönebilsin diye cıva içinde yüzen bir platform kurdular ve platform üzerinde bir deney düzeneği yaptılar. Bir ışık kaynağından çıkan ışını, birbirlerine dikey doğrultularda yerleştirilen aynalara yönlendirdiler. Aynalardan yansıyan ışını bir interfometre ile gözlediler. Birbirlerine dikey yönde gidip aynada yansıdıktan sonra dönen ışınların hızları farklı olduğunda, Doppler kayması denilen olayın interferometrede görünmesi gerekir. Platform her yöne hareket ettirilerek yapılan deneylerde, beklenen kayma gözlenemedi. Yani ışığın hızı her yönde aynı oldu. Buradan çıkan sonuç şudur: Ya dünya hareketsizdir, ya da ether yoktur. Dünyanın hareket ettiğine kuşkumuz olamayacağına göre, ether yoktur sonucuna varmalıyız. Tabii, bu deneyin verdiği asıl sonuç, ışığın her yönde aynı hıza sahip olduğudur.

Lorentz, Poincare ve Minkowski

Şimdi problem şuna dönmüştü: Işığın hızı neden her eylemsiz sistemde aynı görünüyordu? Bunun fiziksel yanıtıyla ilgilenmeyen matematikçiler sorunu kolayca çözdüler. Galilei dönüşümü yerine, ışık hızını koruyan bir dönüşüm tanımladılar. Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) ışık hızını değişmez (invariant) kılan bir dönüşüm tanımladı. Henri Poincaré, Einstein’in Özel Görelilik Kuramını yayınlamasından önce, 1904 yılında, aynı işi yapan dönüşüm gruplarını tanımladı ve sorunu matematiksel açıdan bütünüyle çözdü. Hebert Minkowski’nin kurduğu geometri, henüz ortaya çıkmayan göreliliğin geometrik modeliydi. Böylece, görelilik kuramının matematiksel dayanağı hazır duruma gelmişti. Ama, ışık hızını sabit gösteren deneylere ve o hızı sabit kılan matematiksel yapılara fiziksel bir yorum getirilmeliydi.

Bu yorumu 1905 yılında Einstein, Özel Görelilik Kuramı'nı ortaya atarak yaptı ve böylece fizikte yepyeni ufuklar açtı. Bu ufku açıklayabilmek için Lorentz dönüşümlerini ya da daha genel olarak Poincaré gruplarını incelemek gerekir. Genelliği ve estetiği bakımından ikincisi tercih nedenidir. Ama kısalığı nedeniyle, burada Lorentz dönüşümlerini ele alacağız.

Lorentz Dönüşümü

S ve S’ konuşlanma sistemlerinin başlangıç noktaları çakışsın ve S’ sistemi S sistemine göre v hızıyla Ox-ekseni boyunca hareket etsin. Başlangıç noktasını O(0,0,0,0) ile gösterelim. S sistemindeki noktaları (t,x,y,z) ile S’ sistemindeki noktaları da (t’,x’,y’,z’) ile gösterelim. Aşağıdaki denklemlerin tanımladığı dönüşüm Lorentz dönüşümüdür:

Formül 2.2: Lorentz dönüşümü

Formül 2.3: Hızların dönüşümü

Burada g Lorentz katsayısı ve c ışığın vakum içindeki hızıdır. Şimdi S sistemi içindeki bir gözlemci Ox-ekseni boyunca w hızıyla hareket eden bir cismi gözlesin. Aynı cismi, S’ sistemindeki gözlemci w’ hızıyla gözlüyorsa, bu ikisi arasında

bağıntısı varolacaktır. Bu bağıntıyı yukarıdaki dönüşüm formüllerinden kolayca elde ederiz. Şimdi bu bağıntıda S sistemine göre cismin ışık hızıyla hareket ettiğini düşünelim. w=c değerini eşitlikte yerine koyarsak w’=c çıkar. Demek ki, S sistemine göre ışık hızıyla hareket eden bir cisim S’ sistemine göre de ışık hızıyla hareket etmektedir. Ohalde, Lorentz dönüşümü, Maxwell denklemlerinin Galilei dönüşümü altında ortaya çıkardığı sorunu çözmektedir. Ayrıca, w ve v ışık hızına oranla çok çok küçük iseler, w’ = w - v olur ki bu Galilei sisteminde hızların toplanması ilkesidir.

Buradan görüldüğü gibi, bir eylemsiz sistem ötekine göreli olarak sabit v hızıyla gidiyorsa ve v<<c ise, Lorentz dönüşümü Galilei dönüşümüne indirgenmiş olur. O halde, Galilei dönüşümü, Lorentz dönüşümünün özel bir halidir. Gerçekten, Maxwell'e kadar Galilei dönüşümüyle bir sorun yaşanmamış olmasının nedeni, ele alınan v hızlarının ışık hızından çok çok küçük olmasıdır.

Einstein: dahiler başkadır !

Maxwell denklemleri ve Michelson-Morley deneylerinden sonra Lorentz ve Poincare’nin ortaya koyduğu matematiksel çözüme fiziksel bir anlam vermek gerekiyordu. Lorentz ve Poincaré, birbirlerinden bağımsız olarak, bir eylemsiz sistemden ötekine geçişte ışık hızını değiştirmeyen dönüşümleri bulmuş olsalar da, buna fiziksel bir yorum getiremediler. 1905 yılında Albert Einstein (1879-1955), Özel Görelilik Kuramını yaratan şu iki postulatı koyacaktır:

1. Görelilik İlkesi: Mutlak dinginlik (hareketsizlik) yoktur. Bütün hareketler ya da hareketsizlikler, gözlenen bir başka nesneye görelidir. Bir cismin dingin halde mi, yoksa düzgün doğrusal hareket mi yaptığı mekanik deneylerle ayırdedilemez. Başka bir deyişle, bir referans noktasına göre sabit duran bir gözlemci ile o referans noktasına göre düzgün doğrusal hareket eden başka bir gözlemci, bütün hareket yasalarını aynı algılarlar. Gözlemcilerin hızlarına bağlı olmaksızın fizik yasaları her eylemsiz sistemde aynıdır.

2. Işık hızı sabittir: Gözlemcilerin birbirlerine göre hızları ne olursa olsun, ışık hızı bütün gözlemciler için aynıdır.

Elbette, Einstein Maxwell’in deney sonucunu postülat olarak alırken, deneyden daha sağlam dayanaklara sahip olmalıydı. O dayanak, Lorentz dönüşümüydü. Lorentz dönüşümü kullanılırsa, iki hızın tolamı için

Formül 2.4: Hızların toplamı

formülü geçerli olmaktadır. Şimdi, yerdeki bir gözlemciye göre v hızıyla giden bir arabadan ileriye doğru bir ışık ışını salınsın. v₁= c (ışık hızı) ve v₂= v (arabanın hızı) konulursa

Formül 2.5: Işık hızı her gözlemciye göre aynıdır.

eşitliği elde edilir. Buna sayısal bir örnek verelim. Hızları v₁= 0.9c = v₂ olan iki cisim düşünelim. Newton fiziğine göre bu iki hızın toplamı 1.81c olmalıdır. Biraz sonra açıklayacağımız gibi, hiçbir cisim ışıktan hızlı gidemeyeceğine göre, bu olanaksızdır. Ama, Lorentz dönüşümüne göre, yukarıdaki toplam tanımını kullanırsak

Formül 2.6: Işıktan hızlı hareket yoktur

çıkar. Görüldüğü gibi, Einstein’in postülatı sağlam bir matematiksel dayanağa sahiptir.

Bu varsayımlardan yola çıkan Einstein, Newton Mekaniğinin temeli olan mutlak uzay ve mutlak zamanın var olmadığını, zamanın ve uzunluğun gözlemcinin kullandığı konuşlanma sistemine bağlı olarak değiştiğini göstermiş, momentum ve enerji tanımlarına farklı bir bakış getirmiştir. Şimdi bunları açıklamaya çalışalım.

Einstein-Minkowski Uzayzamanı

Şekil 2.7: Düz uzayzaman (flat spacetime)

Açıklamayı kolaylaştırmak için uzayı iki boyutlu xOy-düzlemi ile, zamanı buna dik olan Ot-ekseni ile gösterelim. Bir olayı uzaydaki bir nokta olarak düşüneceğiz. Galilei uzay ve zaman sisteminde zaman eksenine dik düzlemler eşanlı olayları belirler; yani xOy-düzlemine paralel bir düzlem içindeki bütün noktalar eşanlıdır (o olaylar aynı zamanda meydana gelmiştir). Bu mutlak zaman demektir, çünkü, bütün gözlemciler (nerede olurlarsa olsunlar) iki olay arasındaki zaman farkını aynı göreceklerdir.

Einstein-Minkowski uzayzamanı yukarıdakinden farklı algılanmalıdır. Özellikle, eşanlılık ilkesi tamamiyle farklıdır.

Işık Konisi

Uzayzamandaki her olay (nokta) için, aşağıdaki yöntemle bir ışık konisi kuruyoruz. Gene anlamayı görsel kılmak için iki boyutlu uzay düşünelim. Koninin ekseni zaman eksenidir ve olaydan (tepe noktası) geçer. Koni yüzeyi, eksenle 45 derecelik açı yapan doğrunun eksen etrafında dönmesiyle oluşur. Böylece, tepeleri çakışık ve olaya göre simetrik iki koni ortaya çıkar. Uzay (örneğimizde xOy-düzlemidir) Ot-zaman eksenine diktir.

Şekil 2.8: Işık konisi

Işık konisinde birimin ışık-saniyesi olduğunu varsayalım. Işık-saniyesi, ışığın bir saniyede aldığı yoldur. Her olay için uzayxaman sisteminde böyle bir koni düşünebiliriz.

• Olay konilerin tepelerinin çakışık olduğu anda olmuştur. Üstteki koni, o olayın geleceğidir. Ona gelecek ışık-konisi diyoruz.
• Alttaki koni, o olayın geçmişidir. Ona geçmiş ışık-konisi diyoruz.

Işık konisi şu anlamı taşır. Işık ışınının yönü, o ışığın çıktığı kaynağın hareketine değil, ışının yayıldığı anlık olaya bağlıdır. Ayrıca, Einstein’in Görelilik İlkesi uyarınca, bütün gözlemciler, kendi hareketlerine bağlı olmaksızın, ışığın her yöndeki hızını aynı ölçerler. Bu şu anlama gelir. Her olayda bütün gözlemciler ışık konisinde anlaşırlar, onu evrensel olarak görürler.

Eşanlılık (Eş Zamanlılık – simultaneity)

Lorentz Dönüşümü'nden sezinlenebileceği gibi, t=t' gibi basit bir bağıntı olmayacağına göre zaman göreli bir kavram halini almaktadır. Gerçekte bunun anlamı eşanlılık kavramının hangi eylemsiz konuşlanma sistemi içinde olduğumuza bağlı olduğudur. Bu durum, ışık hızının hangi eylemsiz konuşlanma sistemi içinde olduğumuza bağlı olmadığından çıkar.

Hareket halindeki bir tren vagonunun tam ortasında bir lamba olsun. Lamba yandığında ışık hüzmesi hem trenin gidiş yönüne hem onun ters yönüne c=3×10⁸m/sn hızıyla yayılacaktır.

Vagonun içindeki bir gözlemci, ışığın vagonun önüne ve arkasına aynı anda (eşanlı) ulaştığını görecektir.

Öte yandan, tren dışındaki bir gözlemci için durum farklıdır. Işığın hızı, gözlemcinin içinde bulunduğu eylemsiz sisteme bağlı olmaksızın, her gözlemciye göre aynıdır ve vagonun her iki yönüne doğru c hızıyla gider. Vagonun arkası kendisine doğru gelen ışığa yaklaşırken, vagonun önü kendisine doğru gelen ışıktan uzaklaşmaktadır. Dolayısıyla, ışık vagonun arkasına daha çabuk, vagonun önüne daha geç ulaşacaktır. Demek ki, bu iki olay, yerdeki gözlemci için eşanlı değildir.

Görüldüğü gibi, tren içindeki gözlemciye eşanlı görünen iki olay tren dışındaki gözlemciye farklı zamanlarda olan iki olay olarak görünmektedir.

Oyunu biraz daha eğlenceli kılmak için, trenden daha hızlı giden bir yarış arabası içindeki gözlemcinin olayları nasıl göreceğine bakalım.

Gene, ışığın hızının, gözlemcinin içinde bulunduğu eylemsiz sisteme bağlı olmaksızın, her gözlemciye göre aynı olduğunu ve vagonun her iki yönüne doğru c hızıyla gittiğini anımsayalım. Yarış arabası trenden daha hızlı olduğu için, arabadaki gözlemciye göre tren ters yönde gitmektedir. Dolayısıyla, vagonun önü kendisine doğru gelen ışığa yaklaşırken, vagonun arkası kendisine doğru gelen ışıktan uzaklaşmaktadır. Dolayısıyla, ışık vagonun arkasına daha geç, vagonun önüne daha erken ulaşacaktır. Demek ki, bu iki olay, arabadaki gözlemci için eşanlı değildir.

Sonuç: Bir vagonda geçen iki olayın kronolojik sırası yerdeki, vagondaki ve trenden hızlı giden bir araçtaki üç gözlemci tarafından farklı farklı görünmektedir. Yerdeki gözlemciye göre önce olan olay, arabadaki gözlemciye göre sonra olan olaydır. O halde, farklı eylemsiz sistemlerde eşanlılık olamaz.

Işıktan Daha Hızlı Hareket

Eğer öncelik, eşanlılık ve sonralık kavramları gözlemciye göre değişiyorsa, bir olayın başka bir olayı yarattığı nedensellik (casuality) kavramını nasıl açıklayacağımızı ciddi olarak düşünmeliyiz.

Bunu biraz açıklamakta yarar vardır. Eğer bir A olayı başka bir B olayının olmasının nedeni ise, A olayı B olayından önce olmalıdır. Ama, bir gözlemci A olayının B olayından önce olduğunu, başka bir gözlemci ise A olayının B olayından sonra olduğunu gözlüyorsa, nedensellik konusunda bir uyuşmazlık ortaya çıkacaktır.

Bir A noktasından atılan bir ok B noktasındaki elmayı vursun. Okun atılışına A olayı, elmanın vuruluşuna da B olayı diyelim.

Önceki bölümde ele aldığımız uzayzaman diyagramlarını bu iki olay için tekrarlayalım:

1. A  da ok atıldı 
2. Atılan ok  A ve B yi birleştiren doğru boyunca yol aldı. 
3. Ok  B ye ulaşınca elmayı vurdu.

Şekil 2.9: Eşanlılık yoktur

(x,t) sisteminde, ok atıldıktan  sonra elma vurulur. (x',t') sisteminde, okun atılışı ile elmanın vuruluşu   eşzamanlıdır. (x'',t'') sisteminde, elma ok atılmadan önce vurulmuş olacaktır. Bu çelişki nereden geliyor? Biraz düşününce, çelişkinin kaynağını göreceğiz. A dan B ye giden okun ışık hızından daha hızlı hareket ettiğini varsayıyoruz. Oysa, görelilik kuramına göre hiç bir cisim ışık hızından daha hızlı gidemez.  

Saatlerin Eşanlaştırılması (Synchronization)

Eşanlılık kavramının göreli oluşu bazı sonuçlar doğuracaktır. Bu sonuçlardan birisi şudur:  Bir konuşlanma sistemi içinde eşanlaştırılan (senkronize edilen) saatler başka bir sistem içinden eşanlaşmamış (senkronize olmamış) görünür.

Zaman Gecikmesi (Time Dilation)

Eşanlılık kavramının göreliliğinin önemli sonuçlarından birisi şudur: Farklı eylemsiz konuşlanma sistemlerinde zamanın akış hızı farklıdır. Buna  zaman genişlemesi (time dilation) diyoruz. 

İki saatin hızını karşılaştırmak için, şöyle basit bir yol izlenebilir.

1. Bir başlangıç anı seçilir ve her iki saatin o anda (aynı anda) aynı zamanı göstermesi (senkronize) sağlanır.
2. Aradan belli bir süre geçtikten sonraki bir anda (aynı anda) her iki saat okunur.

Bu işi yaparken, parantez içindeki  "aynı anda" deyimini söylemeye bile gerek görmüyoruz. Çünkü o yapacağımız mukayese için doğal olarak gereklidir. Oysa   "aynı anda"  deyimi "eşanlılık" deyimidir. Ama biliyoruz ki, farklı gözlemcilere göre  "eşanlılık" olamaz.

Formül 2.10: Zaman gecikmesi

Bunu uzayzaman çizeneğinden görebiliriz. (x,t) ve (x',t') eylemsiz sistemlerinin başlangıç noktaları belli bir anda çakışık olsun. Bu çakışma anında saatleri senkronize edelim. (Yukarıdaki 1. Adım). (x,t) sistemine göre (x',t') sistemi sabit bir v hızıyla hareket ediyor varsayalım. Bir  süre sonra, saatler birbirinden uzaklaşacak ve onları üst üste çakıştırıp aynı anda gösterdikleri zamanı okuma olanağı kalmayacaktır. (x,t) sistemindeki gözlemci  belli bir anda kendi saati ile  (x',t')  sistemindeki saati mukayese edince, öteki saatin geri kaldığını görecektir. Tersine olarak, (x',t') sistemindeki gözlemci  aynı anda kendi saatini   (x,t)  sistemindeki saat ile mukayese edince, öteki saatin geri kaldığını görecektir. Başka bir deyişle, her gözlemci, ötekinin saatinin yavaş gittiğini görecektir. Bunun nedeni, eşanlılık olduğunu varsaymamızdır.

Lorentz Büzülmesi

Eşansızlık kavramının sonuçlarından birisi de uzunlukların gözlemciye bağımlı olarak değişmesidir.
Bir şeyin uzunluğunu nasıl ölçeriz? Uzunluğu ölçülecek cismi bir eksen (skalası olan bir doğru) üzerindeymiş gibi düşünür ve cismin iki ucunun skaladaki karşılıklarını okur, bunlar arasındaki farkı buluruz. Bulduğumuz fark o cismin uzunluğudur.

Acaba, konu bu kadar basit midir? Basit olmadığını bir örnekle açıklayalım.

Bir tren vagonunun uzunluğunu ölçmek isteyelim. Tren istasyonda duruyor iken, vagonun iki ucu arasındaki rayın uzunluğunu ölçersek, trenin uzunluğunu bulabiliriz. Ama tren hareket ediyorsa ne yapabiliriz? Vagonun arka ucunun ray üzerindeki izdüşümünü işaretleyip, ön ucu için aynı işi yapmak üzere öne doğru çok çok hızla gitsek bile, tren hareket halinde olduğu için belli bir yol alacak ve ölçümlememiz vagonu daha uzun gösterecektir. Tersine olarak, önce vagonun önünden ölçümlemeye başlasak, bu kez tren olduğundan daha kısa çıkacaktır. Tabii, pratikten kaynaklanan bu sorunu çözmek kolay görünüyor. Vagonun her iki ucun için ölçümlemeyi aynı anda (eşanlı) yaparız.  Oysa bu iş, ancak aynı konaç sisteminde isek yapılabilir. Farklı konaç sistemlerindeki gözlemciler için eşanlılık yoktur.

Vagon içindeki gözlemci, vagonun ön ve arkası arasındaki uzunluğu, kendi kon sistemine göre, vagonun ön ve arka duvarlarını eşzamanlı olarak eksen üzerine izdüşürerek, vagonun uzunluğunu  L' olarak ölçsün. Yerdeki gözlemci de kendi kon sistemine göre, vagonun uzunluğunu L olarak ölçsün. Trenin hızı v ise, Lorentz dönüşümüne göre L ile L' arasında

Formül 2.11 : Lorentz büzülmesi

bağıntısı vardır. Buradan görüldüğü gibi, L > L'  dür.  Bu demektir ki, yerdeki gözlemci hareketli treni daha kısa görecektir. Bunun nedeni, farklı gözlemciler arasında eşanlılık olamayışıdır. Bu etkiye Lorentz Daralması (Lorentz contraction)  diyoruz.

Hareketsiz iken cismin uzunluğuna onun doğal uzunluğu diyoruz. Bir cismin doğal uzunluğu, hareket halindeki uzunluğundan daha büyüktür. Başka bir deyişle, hareket eden cisimler (hareket yönünde) daha kısa görünürler. Lorentz Dönüşümü bu daralmanın oranını vermektedir.  

Eylemsiz Kon Sistemlerinin Denkliği

Yerdeki bir gözlemciye göre (sabit eylemsiz kon sistemi), hareketli eylemsiz sistemdeki uzunlukların küçüldüğünü ve saatlerin yavaşladığını söyledik.  

Öte yandan, trendeki bir gözlemciye göre, trenin eylemsizlik kon dizgesi sabittir, yerdeki eylemsiz kon sistemi ise (trene göre ters yönde) hareket etmektedir. Bütün eylemsiz kon sistemleri denk olduğuna göre, trenden bakınca yerdeki uzunlukların küçüldüğünü ve saatlerin yavaşladığını gözlemlemeliyiz.

İkizler Çatışkısı (The Twin Paradox)

Yirminci yaş gününde ikiz kardeşlerden birisi çok hızlı giden bir gemiyle uzay yolculuğuna çıksın. Seyahat, dünya zamanına göre yıllar (diyelim 40 yıl) sürsün. Dünyadaki konaç sistemine göre, hızlı uzay gemisinde zaman genişlemesi (yavaşlaması) olacağından, seyahat eden ikiz daha az yaşlanacaktır (diyelim 10 yıl). Geri döndüğünde, dünyadaki kardeşi 60 yaşında, kendisi ise 30 yaşında olacaktır.

Öte yandan, hareket göreli olduğu için, uzay gemisindeki konuşlanma sistemine göre, dünya gemiden hızla (ters yönde) uzaklaşmaktadır. Aynı nedenle, bu kez, gemideki ikiz 60 yaşında, dünyadaki ikiz ise 30 yaşında olacaktır. Bu bir paradoks gibi görünmektedir. Çözüm için kendinizi deneyiniz.

Kütle ve Enerji

Newton Mekaniğinde kütlesi m olan bir cisim v hızıyla hareket ediyorsa kinetik enerjisi mv²/2 dir. Oysa görelilik fiziğinde bir parçacığın enerjisi dingin (rest) enerji ve kinetik enerji diye ikiye ayrılır. Toplam enerji ise bu ikisinin toplamıdır:

Enerji = Dingin Enerji + Kinetik Enerji

Öte yandan, Einstein’e (1879-1955) göre, dingin enerji dingin haldeki maddenin kütlesinden başka bir şey değildir. Dolayısıyla, kütle ve enerji bireşmektedir.

Covariant (Eşdeğişirlik)

Newton Mekaniğinde ve Öklit Geometrisinde geçen “invariant - değişmez” terimi yerine, Einstein, Görelilik Kuramında ve Eğri Uzayda, “covariant - eşdeğişir” terimini koymaktadır. Örneğin, bir K konuşlanma sisteminden başka bir K’ konuşlanma sistemine geçildiğinde zaman, uzunluk, kütle, momentum, potansiyel, enerji fiziksel nicelikleri Lorentz katsayısıyla orantılı değişir. Bu özelik, Özel Görelilik Kuramının matematiksel ifadesidir. Bu kuralı basitçe ifade edebiliriz.

g Lorentz çarpanı olmak üzere bir eylemsiz sistemden ötekine geçildiğinde zaman, uzunluk, kütle, momentum ve enerjideki değişimler, sırasıyla, şöyledir:

t’ = g t, L’ = g L , m = g m_{0 ,} p’ = g p , E’ = g E .

Bunları açık yazalım:

Formül 2.12: Eşdeğişirlik (covariance)

Bu bağıntıların ışığında Özel Görelilik Kuramını daha açık ifade edebiliriz.

Özel Görelilik:

Doğa kanunları herhangi K ve K’ eylemsiz konuşlanma sistemlerinde eşdeğişimlidir. Bu demek, birisinde geçerli olan fizik kuralı, Lorentz dönüşümü altında ötekinde de geçerlidir.

Sonuç

Esasında, Görelilik İlkesi Galilei sisteminde mevcuttur. Konuşmanın bu bölümünde Einstein’in Özel Görelilik Kuramı’nın ne olduğunu açıklamaya çalıştık. Söylenenler aklınızda karışmış olabilir. Eve götürmeniz için aşağıdakileri ayıklıyoruz:

1. Işığın hızı bütün eylemsiz sistemlerde aynıdır, gözlemcinin ya da ışık kaynağının hızına göre değişmez[1].

2. Eşanlılık göreli bir kavramdır. İki olayın oluş sırası, gözlemcinin eylemsiz sistemine bağlıdır.

3. Işıktan hızlı hareket olamaz. Olduğu taktirde, nedensellik (causality) bozulur.

4. Zaman gecikmesi ve uzunluk kısalması gibi ilginç fenomenler ortaya çıkar.

5. g Lorentz çarpanı olmak üzere bir eylemsiz sistemden ötekine geçildiğinde zaman, uzunluk, kütle, momentum ve enerjideki değişimler Lorentz katsayısıyla orantılıdır. Bu özeliğe eşdeğişirlik (covariant) denir.

6. Fizik bazen eğlencelidir!

Üçüncü Bölüm

Genel Görelilik

Fizik Yasaları Evrenseldir!

Newton hareket yasaları Maxwell’in elektrik ve magnetizma denklemlerine uymuyordu. Einstein, ortaya çıkan sorunu 1905 yılında ortaya koyduğu Özel Görelilik Kuramı ile giderdi:

Fizik yasaları bütün eylemsiz konuşlanma sistemlerinde aynıdır.

Özel Görelilik Kuramı, fizik yasalarını (Newton hareket yasaları, Maxwell elektromagnetizm yasaları) birbirlerine göre eylemsiz hareket eden iki cisim için bütünüyle çözmüştür. Başka bir deyişle, Özel Görelilik Kuramı, Newton Fiziğinin bir genellemesidir ve bütün eylemsiz hareketleri kapsamıştır.

Eylemsiz hareket demek, düzgün doğrusal hareket demektir. Eylemsiz hareket ivmesizdir. İvmesiz hareket eden cisim, bir referans noktasına göre, ya bir doğru boyunca sabit bir hızla hareket eder ya da hareketsiz durur.

Öte yandan, doğada hareketlerin çoğunluğu eylemlidir, yani ivmeli hareketlerdir. Hızı ya da yönü değişen her hareket eylemli (ivmeli) dir. Örneğin, üzerinde yaşadığımız dünya eylemli hareket halindedir. Özel Görelilik Kuramı, fizik yasalarının eylemsiz konuşlanma sistemlerinde aynı olduğunu söyler söylemez akla takılan soru şudur:

Fizik yasaları birbirlerine göre eylemli (ivmeli) hareket eden iki cisim için geçerli değil midir?

Bunu biraz açıklığa kavuşturmalıyız.

Fiziğin hedefi en genel doğa yasalarını bulmaktır. Öyleyse, yalnızca eylemsiz konuşlanma sistemleriyle yetinilemez. Doğa yasaları eylemli konuşlanma sistemleri için de geçerli olmalıdır. Böyle olması fiziğe norm getirir, onu daha evrensel kılar. Özel Görelilik bu yönde değerli bir başlangıçtı ve mükemmel sonuçlar sunuyordu. Ama eylemsiz sistemlere kısıtlıydı.

Einstein, bu kısıtın kalkması gerektiğini sezinlemişti. Ona göre, fizik yasaları her yerde her koşul altında aynı olmalıydı. Sezgisel olarak ulaştığı bu sonucu matematik diliyle ifade etmesi gerektiğini de biliyordu. Olağanüstü zor olan bu iş onun tam on yılını aldı. 1915 yılında, ortaya koyduğu Genel Görelilik Kuramı fizik yasalarını önceden sezinlediği genel biçime koymuş oldu:

Fizik yasaları birbirlerine göre eylemli (ivmeli) hareket eden iki cisim için de geçerlidir.

Böylece, fizik yasalarının eylemli ve eylemsiz sistemlerde aynı olduğu gerçeği kanıtlanmış oluyordu. Bu olay, fiziğe bakış açımızı bütünüyle değiştirmiştir. Özetlersek, Özel Görelilik Kuramı, fizik yasalarının eylemsiz konuşlanma sistemlerinde aynı olduğunu söyler. Genel Görelilik Kuramı ise, bunu genelleştirir ve fizik yasalarının her sistemde (eylemli ya da eylemsiz) aynı olduğunu söyler.

Basitçe ifade ettiğimiz bu büyük bilimsel bulgunun dayandığı matematiğin anlatımı bir sömestrelik bir derstir. Bu konuşmada o uzun dersi yapamayacağımız için, temel matematiksel dayanakları betimlemekle yetineceğiz.

Sıradan Deneylerden Sıradışı Düşüncelere

Einstein, “damdan düşen bir adamın kendi ağırlığını hissetmeyeceğini” düşündüğü anı, hayatının en mutlu anı olarak niteler. Çünkü o anda, Einstein, Genel Görelilik Kuramına giden yolu görmüştür. Einstein’in düşüncelerini kavrayabilmek için basit deneylerden başlayacağız.

Bir avucunuza ağırca bir cisim (küçük bir taş parçası, madeni bir para vb.), öteki elinize daha hafif bir cisim (bir tahta parçası, plastik parçası vb.) alınız. Şimdi şu basit denemeleri yapınız.

· İki elinizi havada dengeleyip, avuçlarınızdaki cisimlerden birinin daha ağır, ötekinin daha hafif olduğunu hissediniz.

· İki avcunuzu yeterli çabuklukla yere doğru indiriniz. Avuçlarınızdaki cisimlerin ağırlıklarının, aynı oranlarda azaldığını hissedeceksiniz.

· İki avcunuzu yere doğru biraz çabuk çekiniz. Avuçlarınızdaki cisimlerin ağırlıklarının yokolduğunu, ama cisimlerin avucunuzla birlikte yere doğru (ağırlıksız) indiğini hissedeceksiniz.

· İki avcunuzu yere doğru daha çabuk çekiniz. Cisimlerin avuçlarınızdan ayrılıp havada kaldıklarını ve yere serbest düştüklerini göreceksiniz.

· İki avcunuzu yeterli çabuklukla yukarı doğru kaldırınız. Avuçlarınızdaki cisimlerin ağırlıklarının arttığını hissedeceksiniz.

Bu yaptığınız deney, Genel Görelilik Kuramına temel olan düşünceleri açıklar. Şimdi, bunları Einstein’in düşsel asansörü ile açıklayalım.

Her yanı kapalı bir asansörde bir gözlemci ve yanında iki taş bulunsun.

1. Asansör hiç bir kuvvetin olmadığı dış uzayda (ağırlıksız ortam) serbest yüzüyorsa, gözlemci ve toplar hiçbir kuvvet etkisinde kalmazlar, asansörle birlikte serbest yüzerler (Şekil 3.1).

2. Ağırlıksız ortamda, asansör bir iple yukarı doğru çekilsin. Bir ivme oluşur, Gözlemci ve taşlar asansörün tabanına düşerler. Asansördekiler, yukarı çekildiklerini fark edemez, gravitasyon[2] etkisi olduğunu sanırlar (Şekil 3.2).

3. Asansör ağırlıksız ortamdan çıksın ve gravitasyon alanına girsin. İpe asılı kalsın ama yukarı çekilmesin. Gözlemci ve taşlar (2) de olduğu gibi asansörün tabanına düşerler. Gözlemci yukarı çekilmekle, gravitasyon alanında olmak arasındaki farkı anlayamaz (Şekil 3.3).

4. Gravitasyon alanında asılı duran asansörün ipi kesilsin. Gözlemci ve taşlar asansörle birlikte serbest düşmeye başlarlar. Gravitasyonsuz ortamda olduğu gibi yüzerler. Gözlemci gravitasyonsuz ortamda olmakla, gravitasyon alanında serbest düşme arasındaki farkı anlayamaz (Şekil 3.4).

5. Asansör yerküre gravitasyon alanında asılı dururken gözlemci ve taşlar yerküre merkezine doğru çekilir. Gözlemci yere doğru düşen taşların birbirlerine yaklaştığını fark eder (Şekil 3.5).

6. Yerküre gravitasyon alanında asılı duran asansörün ipi kesiliyor. Asansör serbest düşüyor. Gözlemci ve taşlar asansörde yüzmeye başlıyor. Gözlemci, taşların birbirlerine yaklaştığını görecektir (Şekil 3.6).

Yukarıda anlatılan düşsel asansör deneylerinden çıkarılacak sonuçlar şunlardır:

i) İvmeli hareketle gravitasyon etkisiyle hareket arasındaki fark, yerel olarak, ayırt edilemez (1. ve 2. deney).

ii) Gravitasyonun etkisi serbest düşmeyle, yerel olarak, yokedilebilir (3. ve 4. deney).

iii) Düzgün olmayan bir gravitasyon alanında, yerel olarak, serbest düşmeye geçilerek gravitasyonun etkisi yokedilemez (5. ve 6. deney).

Newton’un mutlak uzay varsayımı eylemsizlik ivmesine (direncine) ve merkezkaç kuvvetlere dayanır. Newton Mekaniği’nin, bir cismin m_g gravitasyon ivmesi ile m_i eylemsizlik ivmesini kuramsal açıdan farklı gördüğünü, ama Eötvös’ün 10⁸ de bir duyarlılıkla yaptığı deneylerde ikisi arasında pratik açıdan bir fark görülemediğini söylemiştik. Buna ek olarak, Galilei yasası uyarınca ağır ve hafif cisimler aynı hızla yere düşerler. Newton’un gök cisimleri arasındaki F=mMG/r² çekim kuvvetinden, çekim ivmesinin cismin m kütlesine bağlı olmadığını söylemiştik. Bütün bunlar bir arada düşünülünce, bu yasaların hepsini içine alan daha genel bir fizik yasasının varolduğunu düşünmek doğal olmaktadır. Einstein da böyle düşündü ve

Yerel olarak : Gravitasyon = Eylemsizlik = İvme

olduğunu gördü. Bu eşitlik çok şaşırtıcı değildir. İvmeyi ikinci basamaktan türev belirliyor. Eylemsizlik cismin düzgün hareketinin (dingin de olabilir) değişmesini engellemeye çalışan kuvvettir. Düzgün hareketin değişmesi demek, cismin ivme kazanması demektir. O halde, eylemsizlik kuvveti ivmeye karşı koyan bir kuvvettir. Etki-tepki yasası uyarınca eylemsizlik = ivme eşitliği doğal bir sonuçtur. Öte yandan, gravitasyonun etkisinin serbest düşmeyle (eylemsizlik), yerel olarak, yokedilebileceğini söylemiştik.

Eğri Uzay

Öklit Geometrisinde iki nokta arasındaki en kısa yolun doğru[3] olduğunu öğretirler. Burada en kısa yol deyimi uzaklık kavramıyla ilgilidir. Öklit geometrisinde uzaklık bir metrik (fonksiyon) ile tanımlanır. P(x₁,y₁,z₁) ile Q(x₂,y₂,z₂) noktaları arasındaki uzaklık (metrik)

bağıntısıyla verilir.

Bilindiği gibi bu metrik katı dönüşümler altında değişmez. Katı dönüşüm deyiminden öteleme (paralel kayma) ve dönme dönüşümlerini anlıyoruz. Katı dönüşümler uzunluğu ve açıyı değiştirmez. Öklit geometrisinde geçerli olan bu kurallar başka geometrilerde başka biçimlere girebilir. Örneğin, Lizbon’dan Newyork’a gidecek gemi ya da uçak, en kısa yoldan gitmek isterse, iki kentten geçen paralel daireyi izlemez. Kaptanlar bu iki kentten geçen büyük çember üzerinde giderler. Bu nedenle, yolcular önce kuzeye doğru çıkıldığı sonra güneye doğru inildiği izlenimini edinirler. Çünkü, küre üzerindeki P noktasından bir Q noktasına giden en kısa yol P ve Q dan geçen büyük çember yayıdır[4]. Öklit uzayındaki doğrusunun yerini kürede büyük çember yayı almıştır (Şekil 3.8). Başka yüzeylerde başka biçimler alacaktır. Örneğin, silindir yüzeyinde başka, hiperboloid yüzeyinde başkadır. (Görelilikte kullanılan terimlere uyum sağlamak için, Öklit uzayına düz uzay – flat space- , Öklit dışı uzaylara da eğri uzay –curved space- diyeceğiz.)

Öklit uzayında bir vektörü, kendisine paralel olarak, kapalı bir eğri boyunca kaydırarak (öteleme) ilk noktaya kadar getiriniz. Vektörün orijinal vektörle çakıştığını göreceksiniz. Ama küre üzerinde bu özelik bozulur. Başka bir deyişle, küre üzerinde paralel kayma yola bağlı olarak değişir (Şekil 3.9). Bu özelikten yararlanarak, yüzeyin eğriliğini (curvature) hesaplarız (Şekil 3.10). Diferensiyel Geometri derslerinde, eğriliğin ikinci basamaktan türevle hesaplandığını anımsayınız. Öte yandan, fizik derslerinde, ivmenin de ikinci basamaktan türevle hesaplandığını gördünüz. Buradan, ivme ile eğrilik arasında bir ilişki kurulabileceği sezilmektedir. Öte yandan, gravitasyonun ivmeye eşit olduğunu söyledik. O halde, gravitasyon ile eğrilik arasında bir ilişki doğmaktadır. Bütün bu söylediklerimizin matematiksel kanıtı vardır. Kanıtlarına giremeyeceğimiz Genel Görelilik Kuramının matematiği bunu yapmaktadır.

Uzayzamanda her olayı bir nokta ile göstereceğiz. İşin içine zaman girdiği için, uzayzamanda iki nokta arasında Öklit geometrisindekine benzer bir uzaklıktan sözedemeyiz. Noktalar arasındaki uzaklık terimi yerine, iki olay arasındaki uzayzaman aralığı terimini kullanacağız. Buna göre, Dt süresi içinde uzay koordinatlarındaki değişim Dx , Dy , Dz ise, uzayzaman aralığı aşağıdaki bağıntı ile tanımlanır:

Bu bağıntı Minkowski metriği diye bilinir. Öklit metriği negatif değer alamazdı. Ama Minkowski metriği negatif ve pozitif değerler alabileceği gibi, farklı olaylar (noktalar) için sıfır değerini bile alabilir. Burada c bir dönüşüm sabitidir ve pratikte onu ışık hızı olarak kabul edeceğiz. Bu metrikte önemli olan şey, fotonların c hızıyla gitmesinden çok, koordinat dönüşümleri altında uzayzaman aralığını değişmez kılan bir c sabitinin varlığıdır. Başka bir deyişle, (t,x,y,z) eylemsiz sisteminden (t’,x’,y’,z’) eylemsiz sistemine geçilirse aşağıdaki eşitliği sağlayan bir c sabiti vardır.

Matematikçiler Minkowski metriğini daha zarif yollarla tanımlamayı ve Görelilik Kuramını sağlam bir matematiksel yapı içine almayı severler. Bu yönde yapılanlar öğrenilmeye değecek zerafet ve çekiciliktedir. Halen aktif çalışma alanı olan Gauge Kuramı, String Kuramı gibi kuramlar, Einstein’in kullandığı tensör yerine başka matematiksel yapılar koymaktadır. Bunların her birisi bu konuşmaya sığmayacak büyüklüktedir. O nedenle, işin matematiğini yapmak yerine, Einstein’in yaptıklarını betimlemekle yetinmek zorundayız.

Tensör hesapta bir noktanın koordinatları alt indislerle değil üst indislerle gösterilir. İşlemlerde, bileşen sayıları onlarla sayılacak kadar çok olduğu için kısaltmalar kullanılır. Örneğin, uzayzamanda dört boyutlu bir noktayı (olayı) göstermek için grek üs kullanılır. Zaman boyutunu dışlayıp uzaydaki üç boyutu belirtmek istersek, grek üs değil, latin üs kullanacağız:

Uzayzaman aralığını daha kısa yazabilmek için, adına metrik denen

matrisini kullanacağız. Einstein basitliği seven bir insandı. Çok sayıda indisli terimlerin toplamını yazmak için kolay bir kısaltma önerdi. Aynı üs ya da indis taşıyan terimler bütün mümkün haller için toplanır. Buna göre, yukarıdaki uzunluk formülünü şu zarif biçimde yazabiliriz :

Uzayzamanda koordinat sistemlerimiz çok sık değişecektir. Koordinat sistemi değişince, yukarıda tanımlanan Minkowski metriğinin değişmez (invariant) kalmasını isteriz. O halde, uzayzamanda hangi dönüşümlerin metriği (uzunluğu) değiştirmediğini bilmeliyiz. Bunu matris yardımıyla söylersek,

ya da daha kısa olarak

bağıntısını sağlayan L matrislerini (dönüşümler) bilmeliyiz. Kolayca görüleceği gibi,

çıkar ve buradan buluruz. Bu da olması demektir. Bu eşitliği sağlayan matrislere Lorentz dönüşümleri denir. Lorentz dönüşümleri çarpma işlemine göre bir grup oluşturur. Poincaré, Lorentz dönüşümlerine ötelemeleri de ekleyerek daha genel dönüşüm grubunu oluşturmuştur. Her iki grup da komutatif değildir.

Minkowski Geometrisinin yapısını açıklayabilmek için tensör kavramına girmek gerekir ki biz ona giremeyeceğiz. Ama Genel Görelilik için matematiksel yapının nasıl kurulduğunu betimleyebiliriz.

Newton Mekaniği mutlak uzay ve mutlak zamanı varsaydığı için, kartezyen koordinat sistemi matematikte olduğu gibi Newton Mekaniğinde mükemmel bir araç olmaktadır. Fiziksel fenomenlerin çoğunu türev ve integral yardımıyla açıklarız. Uzayzamana bunu taşıyabilsek sorunlar çözülmüş olacaktı. Ama uzayzamanda bunu doğrudan yapamıyoruz.

Einstein, bu engeli aşabilmek için harika bir yol buldu. Düşüncesi, matematik analizde yaptığımız basit bir kavrama dayanıyordu. İvmeli hareket eden bir parçacığı düşünelim. Zaman dilimlerini durmadan küçültelim. Her adımda, zaman dilimlerinin uç noktaları arasındaki hız farkı giderek küçülecektir. Zaman dilimlerinin uzunluğunu sıfıra yaklaştıran sürecin (limit konumu) sonunda anlık hız ortaya çıkacaktır. Anlık hız sabittir, yani cisim ivmesizdir. Tam bu anda iken cismi bir eylemsiz konuşlanma sistemi içine koyabiliriz. Bunu yaptığımız anda Özel Görelilik Kuramının bütün sonuçlarını o an için uygulayabiliriz. Bu düşünceyle Einstein şu ilkeyi koydu

Einstein: Eşdeğerlik İlkesi

l Keyfi bir gravitasyon alanındaki uzayzaman’ın her noktası için öyle yerel eylemsiz (serbest düşen) bir konuşlanma sistemi seçilebilir ki, noktanın yeterince küçük komşuluğunda doğa yasaları ivmesiz kartezyen koordinat sistemindeki biçimi (form) alır.

Tabii, burada ortaya şu sorun çıkıyor. İvmeli cisim için her an farklı bir hız vardır. Öyleyse, her an için farklı bir eylemsiz konuşlanma sistemi olacaktır. O halde, bir sistemden ötekine dönüşümü kolayca yapacak bir yöntem gerekir. Açıktır ki bu bir matematiksel yapı içinde gerçekleşebilir. Einstein bu iş için tensörleri kullandı.

Matematikte hep yaptığımız gibi, konuyu önce eldeki nesnelerden arındırıp, yapıyı soyutlaştırmak işimizi kolaylaştıracaktır. Bir M kümesi düşünelim. Bu küme üzerine bir topolojik yapı koyalım. Sonra yerel olarak Rⁿ Öklit uzayına benzetelim. Böylece M bir çokkatmanlı (manifold) olur. Sonra bir bağlantı (connection) kuralım, üzerinde bir metrik tanımlayalım. Böylece bir Riemann manifoldu elde edilir. Bu manifoldun her noktasına Öklit koordinat sistemleri iliştirilebilir ve bunlar arasında düzgün dönüşümler yapılabilir.

Şekil 3.11

Bundan sonrası uzun ve ciddi matematiksel işlemler gerektirir. Sonuçta Genel Görelilik Kuramı gravitasyonu uzayzamanın eğriliği olarak açıklar. Einstein alan denklemleri (field equations) tensörel biçimiyle çok yalın görünür. [Zaten Einstein bütün bulgularını böyle yalın biçimlerde vermiştir.]

Genel Göreliliğin tensör hesaba dayanan işlemlerinde sağdaki ve soldaki indislerin her birisinin dörder değeri olduğunu, dolayısıyla, yukarıda alan denklemleri dediğimiz eşitliğin 4x4x4x4=256 denklem içerdiğini söylemek gerekir. Ancak, simetriler nedeniyle denklem sayısı 10’a düşer. Einstein bu denklemlerin uzun süre çözülemeyeceğini sanıyordu. Ama, Schwarzchild bir yıl geçmeden bir çözüm buldu. Halen, farklı parametrelerle çözüm arayan araştırmacılara raslayabilirsiniz.

Özel ve genel görelilik Kuramları Arasındaki Önemli Farklar:

1. Özel Görelilik Kuramında mutlak hız’dan sözedemeyiz. Ancak, eylemsiz sistemlere göreli hız’dan sözedebiliriz. Bunun nedeni, hızların 4-boyutlu uzayzamanda birer vektör olarak temsil edilmesidir. Bir eylemsiz sistemden ötekine geçildiğinde hız vektörünün yönü değişecektir.

Özel Görelilik Kuramında ise, uzayzamanın aynı noktasında olmayan cisimlerin göreli hızlarından bile sözedemeyiz. İki cismin, uzayzamanın aynı noktasında olmaları demek, aynı yerde aynı zamanda (eşanlı) olmaları demektir. Farklı noktalardaki cisimlerin hızlarını karşılaştırmak istediğimizde, önümüze olanaksız bir durum çıkar. Çünkü, bir vektörü başka bir vektörle karşılaştırmak için birisini kendisine paralel kaydırarak (öteleme) ötekinin üstüne çakışıp çakışmadığına bakmak gerekir. Oysa eğri uzayda paralel kayma yola bağlıdır. Dolayısıyla, farklı noktalardaki iki cismin hızları karşılaştırılamaz.

2. Özel Görelilik Kuramında bir eylemsiz koordinat sistemini, her biri ötekine göre dingin (hareketsiz) duran saatlerin (vektör) alanı gibi düşünebiliriz.

Genel Görelilik Kuramında böyle bir düşünceye yer yoktur. Ancak aynı noktada olan saatlerin göreli hızlarını karşılaştırabiliriz. Başka bir deyişle, fizikte çok önemli rolü olan eylemsiz sistemler genel görelilikte yoktur.

3. Fizik yasalarını eylemsiz sistemlerdeki nitelikleriyle Genel Görelilikte de kullanmak istiyoruz. O nedenle, yerel olarak eylemsiz sistemleri uzayzamana yerleştiriyoruz. Burada yerel terimi önemlidir. Bu işi ancak uzayzaman aralığının sıfıra gittiği limit halde yapabiliriz. Başka bir deyişle, iki cismin anlık hızlarını karşılaştırabiliriz.

4. Bir parçacık gravitasyondan başka bir etki altında değilse, ona serbest düşüyor denilir. Bir “test parçacığı” deyince enerjisi ve momentumu çok küçük olduğu için uzayzaman eğriliğine etki etmeyen bir cismi anlayacağız. Genel görelilikte, serbest düşen bir test parçacığının yörüngesi bir jeodeziktir. Bunun hız vektörü ise jeodezi boyunca paralel kayan teğet vektördür.

5. Genel Görelilik Kuramında gravitasyon geröek bir kuvvet değildir. O uzayzamanın eğriliğinin ortaya koyduğu bir fenomendir. [Dikkat: uzayın eğriliği değil, uzayzamanın eğriliği].

KAYNAKLAR

Özel ve Genel Görelilik Kuramını anlatan çok sayıda kaynak vardır. Bu büyük çeşitlilik içinde çok iyi kitaplar yanında, çok kötü yazılmış olanlar da vardır. Bu arada çok kötü çeviriler de görebilirsiniz. İnternette sayısız kaynağa erişilebilmektedir. Bunların da bazıları özenle hazırlanmış yararlı kaynaklardır. Ortaya konuluşundan bu yana yüz yılı aşan bu kuramı anlatmak için söylenmemiş söz, verilmemiş örnek, çizilmemiş diyagram kaldığını sanmıyorum. Örnekler ve diyagramlar artık anonimdir. Thales teoremine kaynak göstermek ne anlam taşırsa, bu yazıya kaynak göstermek de o anlamı taşıyacaktır. Kaynak yerine, bu metnin orijinal olmadığını, anonimden derlemeler olduğunu söylemek daha doğru olacaktır.

---

[1] Işığın hızından sözederken daima vakum içindeki hızını anlayacağız.

[2] Görelilikle ilgili kaynaklar, çoğunlukla, “yerçekimi” terimi yerine “gravitasyon” terimini kullanırlar. Bu konuşmada bu alışkanlık sürdürülecektir.

[3] Liselerde geometrik kavramlar biraz belitsel düzeye indirilir. Terimlerle kavramlar arasındaki ilişkide gerekli titizlik gösterilir… Buradaki “doğru” terimi orada “doğru parçası” dır. Bu yazıda terimleri fizikçilerin kullandığı biçimde kullanacağız. Belitsel bütünlüğe uymasa bile, kullanılan her terimin anlamı anlaşılır olacaktır.

[4] Tosun Terzioğlu’nun Matematik Dünyası’nın 2005 sayılarında yayınlanan “Kürede Geometri” adlı öğretici yazı dizisine bakınız.